Question

如圖，在△ABC中，O是AC上的一個動點（不與點A、C重合），過O點作直線MN//BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。

（1）試說明：OE=OF。
（2）當(dāng)O點運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。

Answer 1

略

解析（1）∵EF//BC，∴∠OEC=∠ECB,
且CE為∠ACB平分線，∠ECB=∠OCE
∴∠OCE=∠OEC
推出OE=OC
同理可得OC=OF（到這還有一種方法證明：內(nèi)外角和是180°，平分后和是90°∴∠ECF是直角，且OE=OC，定理：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，用它的逆定理可得OC是中線）
∴OE="OF"
（2）當(dāng)O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形。
分析過程：∵∠ECF=90°，∴只要證明四邊形AECF是平行四邊形就可以得出它是矩形的結(jié)論（定理：一個角是直角的平行四邊形是矩形。）
證明過程：∵O是EF中點（上問已證），O是AC中點，∴四邊形AECF是平行四邊形（定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。
又∵∠ECF=90°，∴四邊形AECF是矩形。