Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M為DE的中點，AM與BE相交于N，AD與BE相交于F．
求證：
（1）；　　
（2）△BCE∽△ADM；
（3）猜想AM與BE的位置關(guān)系，并予以說明理由．

Answer 1

（1）解：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴=，即=；
（2）解：∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點，即BD=CD=BC，
∵M為DE的中點，
∴DM=EM=DE，
由（1）得=，即=，
∴=，
∴△BCE∽△ADM；

（3）AM⊥BE，理由為：
證明：∵△BCE∽△ADM，
∴∠CBE=∠DAM，又∠BFD=∠AFN，
∴△BFD∽△AFN，
∴∠BDF=∠ANF，又∠BDF=90°，
∴∠ANF=90°，
則AM⊥BE．
分析：（1）由AD與BC垂直，DE與AC垂直，利用垂直的定義得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△DEC∽△ADC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到比例式，變形后即可得證；
（2）由三角形ADC與三角形DEC都為直角三角形，利用同角的余角相等得出一對角相等，根據(jù)M為中點，得到DE=2DM，AB=AC且AD⊥BC，利用三線合一得到D為BC的中點，可得出CD=BC，代入（1）得出的比例式中，變形后得到兩對對應(yīng)邊相等，利用兩對對應(yīng)邊且夾角相等的兩三角形相似可得證；
（3）AM與BE的位置關(guān)系是垂直，由（2）得出的兩三角形相似，利用相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△BFD∽△AFN，利用相似三角形的對應(yīng)角相等得到∠BDF=∠ANF，由AD垂直于BC，得到∠BDF為直角，可得出∠ANF為直角，利用垂直的定義得到AM與BE垂直，得證．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，其中相似三角形的判定方法有：兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似，本題第二問用的是第二種方法．