一等腰梯形兩組對邊中點連線段的平方和為8,則這個等腰梯形的對角線長為 .
【答案】
分析:首先由等腰梯形的性質(zhì),求得MN⊥BC,EF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/0.png)
(AD+BC),然后過點D作DK∥AC交BC的延長線于K,過點D作DH⊥BC于H,即可得四邊形ACKD是平行四邊形,四邊形MNHD是矩形,則可得△BDK是等腰三角形,由三線合一的知識,可得BH=EF,在Rt△BDH中由勾股定理即可求得答案.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/images1.png)
已知:如圖,AD∥BC,AB=CD,E,N,F(xiàn),M分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,且EF
2+MN
2=8.
求:這個等腰梯形的對角長.
解:過點D作DK∥AC交BC的延長線于K,過點D作DH⊥BC于H,
∵AD∥BC,AB=CD,E,N,F(xiàn),M分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,
∴EF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/1.png)
(AD+BC),MN⊥BC,AC=BD,
∴四邊形ACKD是平行四邊形,
∴DK=AC=BD,CK=AD,
∴BH=KH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/2.png)
BK=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/3.png)
(BC+CK)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/4.png)
(BC+AD),
∴BH=EF,
∵四邊形MNHD是矩形,
∴DH=MN,
∴在Rt△BDH中,BD
2=BH
2+DH
2=EF
2+MN
2=8,
∴BD=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/5.png)
.
∴這個等腰梯形的對角線長為2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/6.png)
.
故答案為:2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202901232399171/SYS201311032029012323991017_DA/7.png)
.
點評:此題考查了等腰梯形的性質(zhì),平行四邊形與矩形的性質(zhì)與判定以及等腰三角形,直角三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強,而且需要同學(xué)們將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,難度較大,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意輔助線的作法.