△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,拋物線y=x2-2ax+b2交x軸于兩點(diǎn)M,N,交y軸于點(diǎn)P,其中M的坐標(biāo)是(a+c,0).
(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判斷△ABC的三邊長(zhǎng)能否取一組適當(dāng)?shù)闹担谷切蜯ND(D為拋物線的頂點(diǎn))是等腰直角三角形?如能,請(qǐng)求出這組值;如不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
分析:(1)已知拋物線y=x
2-2ax+b
2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(a+c,0),根據(jù)勾股定理可得△ABC為直角三角形.
(2)由S
△MNP=3S
△NOP得出MO=4ON.又可推出點(diǎn)N的坐標(biāo),可求出a與c的等量關(guān)系式.令ED=
MN=EM,可得a,b與c的關(guān)系.
解答:(1)證明:∵拋物線y=x
2-2ax+b
2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(a+c,0)
∴(a+c)
2-2a(a+c)+b
2=0(1分)
∴a
2+2ac+c
2-2a
2-2ac+b
2=0
∴b
2+c
2=a
2.(5分)
由勾股定理的逆定理得:△ABC為直角三角形;(2分)
(2)解:①如圖所示;
∵S
△MNP=3S
△NOP∴MN=3ON即MO=4ON.(5分)
又M(a+c,0)
∴
(3分)
∴a+c,
是方程x
2-2ax+b
2=0的兩根
∴
3.(5分)
∴
(4分)
由(1)知:在△ABC中,∠A=90°
由勾股定理得
.(5分)
∴
(5分)
②能.(5分)
由(1)知y=x
2-2ax+b
2=x
2-2ax+a
2-c
2=(x-a)
2-c
2∴頂點(diǎn)D(a,-c
2)(6分)
過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E則NE=EM,DN=DM
要使△MND為等腰直角三角形,只須ED=
MN=EM.(5分)
∵M(jìn)(a+c,0)D(a,-c
2)
∴DE=c
2EM=c
∴c
2=c又c>0,
∴c=1(7分)
∵c=
ab=
a
∴a=
b=
.(5分)
∴當(dāng)a=
,b=
,c=1時(shí),△MNP為等腰直角三角形.(8分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及等腰直角三角形的判定和三角函數(shù)的運(yùn)用,難度較大.