Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（可用含字母m的代數(shù)式表示）；
（2）如果這個二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y=

9

x

的圖象相交于點(diǎn)C，且∠BAC的余弦值為

4

5

，求這個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）令二次函數(shù)y=0，可求x的值，確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AC與y軸交于D點(diǎn)，根據(jù)cos∠BAC=

4

5

，可知tan∠BAC=

DO

AO

=

3

4

，可確定D點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AC解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，可求C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式求m的值．

解答：解：（1）令二次函數(shù)y=0，得

1

4

x²+（

m

4

+1）x+m=0，
解得x=-4或-m，
∵m＜4，∴-m＞-4，
∴A（-4，0），B（-m，0）；

（2）設(shè)直線AC交y軸于D點(diǎn)，
∵cos∠BAC=

4

5

，∴tan∠BAC=

DO

AO

=

3

4

，即DO=

3

4

AO=3，D（0，3），
∴直線AC解析式為y=

3

4

x+3，聯(lián)立

y= 3 4 x+3 y= 9 x

，
解得

x=-6 y=- 3 2

或

x=2 y= 9 2

，∴C（2，

9

2

），
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得

1

4

×2²+（

m

4

+1）×2+m=

9

2

，
解得m=1，
∴y=

1

4

x²+

5

4

x+1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是將已知的銳角三角函數(shù)值變形，利用銳角三角函數(shù)的定義求出D點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線AC解析式，與已知的反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，求C點(diǎn)坐標(biāo)．