Question

【題目】如圖，已知A，B兩點的坐標分別為（40，0）和（0，30），動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動、動直線EF從x軸開始以每1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E，F(xiàn)，連接EP，F(xiàn)P，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．
（1）求t=15時，△PEF的面積；
（2）直線EF、點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160（平方單位）？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（3）當t為何值時，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EF∥OA，

∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴

當t=15時，OE=BE=15，OA=40，OB=30，

∴

∴S△PEF= EFOE= （平方單位）

（2）解：∵△BEF∽△BOA，

∴

∴

整理，得t2﹣30t+240=0

∵△=302﹣4×1×240=﹣60＜0，∴方程沒有實數(shù)根．

∴不存在使得△PEF的面積等于160（平方單位）的t值

（3）解：當∠EPO=∠BAO時，△EOP∽△BOA

∴ ，即

解得，t=12（11分）

當∠EPO=∠ABO時，△EOP∽△AOB

∴ ，即

解得，

∴當t=12或 時，△EOP∽△BOA

【解析】（1）由于EF∥x軸，則S△PEF= EFOE．t=15時，OE=15，關鍵是求EF．易證△BEF∽△BOA，則 ，從而求出EF的長度，得出△PEF的面積；（2）假設存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進行判斷，得出結論；（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，則只能點O與點O對應，然后分兩種情況分別討論：①點P與點A對應；②點P與點B對應．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用求根公式和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．