Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，設(shè)a=2m，b=1-m，c=-1-m，下面的四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（　�。�
①當(dāng)m=-3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

3

，

8

3

）
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得線段的長(zhǎng)度大于

3

2

③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞

1

4

時(shí)，y隨x的增大而減小
④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)．

• A、①②③④
• B、①②④
• C、①③④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：①根據(jù)題意求得拋物線的解析式，利用頂點(diǎn)式方程來(lái)求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題；
③首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
④根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答．

解答：解：①當(dāng)m=-3時(shí)，a=-6，b=4，c=2，則
拋物線的解析式為：y=-6x²+4x+2=-6（x-

1

3

）²+

8

3

，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（

1

3

，

8

3

）．故①正確；

②當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=

(m-1)±(3m+1)

4m

，x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于

3

2

．
故②正確；

③當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：x=

m-1

4m

，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減�。�因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即對(duì)稱軸在x=

1

4

右邊，因此函數(shù)在x=

1

4

右邊先遞增到對(duì)稱軸位置，再遞減．
故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)x=1時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對(duì)任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)．
故④正確；
根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯(cuò)誤的．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．