Question

如圖，在四邊形ABCD中，給出下列三個論斷：
①對角線AC平分∠BAD，②CD=BC，③∠D+∠B=180°．
（1）在上述三個論斷中，以其中兩個論斷作為條件，另外一個論斷作結(jié)論，問可以寫出幾個正確的命題？
（2）選擇（1）中一個正確的命題加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足為E、F，①②作為條件，可以證明△CBE與△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠B=∠CDF，再根據(jù)平角定義得到∠B+∠D=180°，所以③作為結(jié)論是正確的命題；①③作為條件，與前一種情況的思路相反，可以根據(jù)條件證明△CBE與△CDF全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等得到CD=BC，所以②作為結(jié)論是正確的命題；②③作為條件，先證明∠B=∠CDF，再根據(jù)“角角邊”證明△CBE與△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=CF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上可得AC平分∠BAD，所以①作為結(jié)論是正確命題；
（2）選擇第一種情況根據(jù)（1）中的思路進行證明即可．
解答：解：（1）共有：①②作為條件，③作為結(jié)論，
①③作為條件，②作為結(jié)論，
②③作為條件，①作為結(jié)論，3種情況，都是真命題，
故可以寫出3個正確的命題；

（2）①②作為條件，③作為結(jié)論時，
即已知：如圖，對角線AC平分∠BAD，CD=BC，
求證：∠D+∠B=180°，
證明：過點C作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足為E、F，
∴∠CEB=∠F=90°，
∵AC平分∠BAC，
∴CE=CF，
在Rt△CBE與Rt△CDF中，，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
即∠D+∠B=180°．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及條件的排列與組合，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，是開放型題目，答案不唯一．