Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均為銳角．
（1）當∠A=∠B時，則CD與AB的位置關(guān)系是CD∥AB，CD＜AB；
（2）當∠A＞∠B時，（1）中CD與AB的大小關(guān)系是否還成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，需要根據(jù)題意畫出圖，然后做DE平行于BC，推出∠B=∠AED，結(jié)合題意∠A=∠AED，推出四邊形CBED為平行四邊形，繼而推出DC平行且等于BE，由于BE小于AB，繼而推出（1）的結(jié)論；
（2）根據(jù)要求證的結(jié)論，可以通過作輔助線的形式把DC，AB等有關(guān)的線段引入到同一個三角形中，再通過三角形的三遍關(guān)系論證結(jié)論是否成立．如圖2，分別過點D、B作BC、CD的平行線，兩線交于F點，作∠ADF的平分線交AB于G點，連接GF，推出四邊形BCDF為平行四邊形，可推出BC=DF=AD，繼而推出△ADG≌△FDG，可得出AG=FG，CD=FB，那么FG+BG＞BF?AG+BG＞DC?DC＜AB．
解答：解：（1）如圖1，作DE平行于BC交AB于點E，
∴∠B=∠AED，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE，
∵AD=CB，
∴DE=CB，
∵DE∥BC，
∴四邊形CBED為平行四邊形，
∴DC平行且等于EB，
∵EB＜AB，
∴CD∥AB，CD＜AB；

（2）CD＜AB還成立
證明：如圖2，分別過點D、B作BC、CD的平行線，
兩線交于F點，作∠ADF的平分線交AB于G點，連接GF．
∴四邊形DCBF為平行四邊形
∴FD=BC，DC=FB
∵AD=BC
∴AD=FD
∴∠ADG=∠FDG．
在△ADG和△FDG中 ，
∴△ADG≌△FDG，
∴AG=FG，
∵在△BFG中，F(xiàn)G+BG＞BF，
∴AG+BG＞DC，
∴DC＜AB．
點評：本題主要考查了平行四邊形判定定理，平行四邊形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)及判定定理的綜合應用．