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【題目】閱讀理解

在⊙I中,弦AFDE相交于點Q,則AQQF=DQQE.你可以利用這一性質解決問題.

問題解決

如圖,在平面直角坐標系中,等邊△ABC的邊BCx軸上,高AOy軸的正半軸上,點Q(0,1)是等邊△ABC的重心,過點Q的直線分別交邊AB、AC于點D、E,直線DE繞點Q轉動,設∠OQD=α(60°<α<120°),△ADE的外接圓⊙Iy軸正半軸于點F,連接EF.

(1)填空:AB= ;

(2)在直線DE繞點Q轉動的過程中,猜想:的值是否相等?試說明理由.

(3)①求證:AQ2=ADAE﹣DQQE;

②記AD=a,AE=b,DQ=m,QE=m(a、b、m、n均為正數),請直接寫出mn的取值范圍.

【答案】(1)2 (2)相等(3)①見詳解;≤mn≤2.

【解析】

(1)如圖1,連接BQ,由點Q(0,1)是等邊ABC的重心,得到AQ=BQ=2OQ=2,QBO=30°,根據等邊三角形的性質即可得到結論;
(2)根據等邊三角形的性質得到∠DAF=FAE,根據相似三角形的性質得到=,根據相似三角形的性質得到,等量代換即可得到結論;
(3)①由相似三角形的性質得到,根據線段的和差得到ADAE=(AQ+QF)AQ,化簡即可得到結論;②如圖2,過點EETABT,解直角三角形得到ET=AEsin60°=b,求得SADE=ab,當α=90°時,此時DEx軸,SADE最小,根據相似三角形的性質得到,得到,當α=120°時,此時DE經過點C,即點E和點C重合,SADE最大,根據三角形的面積得到ab≤6,代入化簡即可得到結論.

(1)如圖1,連接BQ,∵點Q(0,1)是等邊ABC的重心,

AQ=BQ=2OQ=2,QBO=30°,AO=3,AB=sin60°AO=2;

故答案為:2;

(2)相等,

理由:∵AO為等邊ABC的高,∴AO平分∠BAC,∴∠DAF=FAE,又∠ADE=AFE,

∴△ADQ∽△AFE,=,∵∠QEF=OAE,AFE=QFE,

∴△AFE∽△QEF,,=;

(3)①∵△ADQ∽△AFE,=ADAE=AFAQ,即ADAE=(AQ+QF)AQ,

ADAE=AQ2+AQQF,AQQF=DQQE,ADAE=AQ2+DQQE,即AQ2=ADAE﹣DQQE;

②如圖2,過點EETABT,在RtAET中,∠EAT=60°,ET=AEsin60°=b,SADE=ADET=ADAE=ADAE=ab,當α=90°時,此時DEx軸,SADE最小,∴△ADE∽△ABC,,,又∵SABC=×(22=3,,

α=120°時,此時DE經過點C,即點E和點C重合,SADE最大,

SADE=SABC=×3=,≤ab≤

ab≤,,由①證得:AQ/span>2=ADAE﹣DQQE,即22=ab﹣mn,

ab=mn+4,≤mn+4≤6,即≤mn≤2.

練習冊系列答案
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B. 乙光斑從點AB的運動速度小于1.5cm/s

C. 甲乙兩光斑全程的平均速度一樣

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組別

分組

頻數

頻率

1

 50≤x<60

9

0.18

2

 60≤x<70

a

b

3

 70≤x<80

21

0.42

4

 80≤x<90

m

0.06

5

 90≤x≤100

2

n

(1)求出a、b、m、n的值;

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