Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中有一塊三角板GEF按圖1放置，其中∠GEF=60°，∠G=90°，EF=4．隨后三角板的點(diǎn)E沿y軸向點(diǎn)O滑動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F在x軸的正半軸上也隨之滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，停止滑動(dòng)．
（1）在圖2中，利用直角三角形外接圓的性質(zhì)說(shuō)明點(diǎn)O、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并在圖2中用尺規(guī)方法作出該圓，（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）滑動(dòng)過(guò)程中直線OG的函數(shù)表達(dá)式能確定嗎？若能，請(qǐng)求出它的表達(dá)式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求出滑動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑的總長(zhǎng)；
（4）若將三角板GEF換成一塊∠G=90°，∠GEF=α的硬紙板，其它條件不變，試用含α的式子表示點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑的總長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠EOF+∠EGF=180°，可知點(diǎn)O、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；作出一直角三角形的斜邊的中點(diǎn)即為外接圓圓心，斜邊的一半為外接圓半徑；
（2）設(shè)出直線解析式，可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，代入即可；
（3）畫(huà)出示意圖，利用三角函數(shù)可求得滑動(dòng)路程的和；
（4）方法同（3），只需把度數(shù)改為α．

解答：解：（1）取EF的中點(diǎn)M，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知
ME=MO=MF=MG，
∴O、E、G、F四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，ME為半徑的圓上；

（2）由（1）知∠GOX=∠GEF=60°，
∴滑動(dòng)過(guò)程中∠GOX的度數(shù)保持不變，
過(guò)圖1中的點(diǎn)G作GA⊥x軸，垂足為A，由EF=4，易得GE=2，
GO=2

3

，在Rt△GOA中可求得G（

3

，3），
設(shè)OG為y=kx，將G（

3

，3）代入可得k=

3

，
∴直線OG的表達(dá)式為：y=

3

x；

（3）在圓M中，總有OG≤EF=4，
∴滑動(dòng)過(guò)程中OG最長(zhǎng)為4，最短為2（此時(shí)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)O，停止了滑動(dòng)），
如圖3所示為點(diǎn)G滑動(dòng)的路徑，
易知GG₁=4-2

3

，G₁G₂=4-2=2，
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑的總長(zhǎng)=4-2

3

+2=6-2

3

；

（4）當(dāng)∠GEF=α?xí)r，仿上述方法易知∠GOX=α，
且點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路線僅僅是長(zhǎng)度上發(fā)生了變化，
此時(shí)有GG₁=4-4sinα，
G₁G₂=4-4cosα，
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑的總長(zhǎng)=4-4sinα+4-4cosα
=8-4sinα-4cosα．

點(diǎn)評(píng)：直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，外接圓的半徑是斜邊的一半，注意特殊三角函數(shù)的運(yùn)用，以及類比方法的使用．