我們把既有外接圓又有內(nèi)切圓的四邊形稱為雙圓四邊形,如圖1,四邊形ABCD是雙圓四邊形,其外心為O1,內(nèi)心為O2
(1)在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中,雙圓四邊形有
 
個(gè);
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,已知:∠B=∠D=90°,AB=AD,問(wèn):這個(gè)四邊形是否是雙圓四邊形?如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,如果雙圓四邊形ABCD的外心與內(nèi)心重合于點(diǎn)O,試判定這個(gè)四邊形的形狀,并說(shuō)明理由.
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分析:(1)有給出的圖形可知只有正方形是雙圓四邊形;
(2)可先設(shè)AC的中點(diǎn)為O1,證明A、B、C、D在以O(shè)1為圓心,以O(shè)1A為半徑的圓上;再作∠ABC的平分線,交AC于O2,分別作O2E⊥AB,O2F⊥BC,O2G⊥CD,O2H⊥AD,E、F、G、H是垂足,再證明O2E=O2F=O2G=O2H即可;
(3)利用垂徑定理,圓心角定理可證明這個(gè)四邊形是正方形.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)1;

(2)四邊形ABCD是雙圓四邊形.
證明:設(shè)AC的中點(diǎn)為O1,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴O1B=O1D=
1
2
AC
=O1A=O1C,
∴A、B、C、D在以O(shè)1為圓心,以O(shè)1A為半徑的圓上.
作∠ABC的平分線,交AC于O2,分別作O2E⊥AB,O2F⊥BC,O2G⊥CD,O2H⊥AD,E、F、G、H是垂足,O2E=O2F.
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
∵AB=AD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
∴O2E=O2H,O2G=O2F,
即O2E=O2F=O2G=O2H,
∴以O(shè)2為圓心,以O(shè)2E為半徑的圓與四邊形ABCD的各邊都相切.
故四邊形ABCD是雙圓四邊形.

(3)四邊形ABCD是正方形.理由如下:
∵小圓是四邊形ABCD的內(nèi)切圓,
∴圓心O到AB、BC、CD、DA的距離相等.
又∵AB、BC、CD、DA是大圓的弦,
∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DA,
∴四邊形ABCD是正方形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了四邊形的內(nèi)切圓和外接圓,當(dāng)四邊形是正四邊形時(shí),這兩個(gè)圓是同心圓.本題用到的和圓有關(guān)的定理還有垂徑定理、圓心角定理.
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(1)在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中,雙圓四邊形有______個(gè);
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,已知:∠B=∠D=90°,AB=AD,問(wèn):這個(gè)四邊形是否是雙圓四邊形?如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,如果雙圓四邊形ABCD的外心與內(nèi)心重合于點(diǎn)O,試判定這個(gè)四邊形的形狀,并說(shuō)明理由.

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