Question

在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，∠C=45°，將BC按逆時針方向繞點B旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．過B作BF⊥CD于F，若AB=2， DC=4．

  （1）求證：四邊形ABFD是正方形;  (2 ) 求△ABE的面積．

 

Answer 1

 (1)證明： AB⊥AD，CD⊥AD，BF⊥CD，∴∠DAB=∠ADF=∠DFB=90°…1分

∴四邊形ABFD是矩形                                    ……2分

又∠C=45°∠CFB=90°∴∠CBF=45°∴BF=FC                         ……3分

而FC=DC－DF=DC－AB=4－2=2  ∴BF=2=AB  ∴ 四邊形ABFD是正方形     ……4分

(2) 解：連結(jié)CE,并延長AB交CE于H

 AB⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD   ∴∠HBC=∠BCD=45°               ……5分

而由題意可知, ∠CBE=90°∴∠HBE=45°                              ……6分

而由BC=BE，BH平分∠CBE，得BH垂直平分CE   ∴EH=BH=FC=2      ……7分

∴S_△ABE=AB·EH=×2×2=2                                      ……8分