精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學 > 題目詳情

證明：四個連續(xù)正整數(shù)的積與1的和，一定是一個完全平方數(shù)．

答案：
解析：

略證：(n－1)n(n＋1)(n＋2)＋1＝(n²＋n－2)(n²＋n)＋1＝(n²＋n)²－2(n²＋n)＋1＝(n²＋n－1)²(其中n為正整數(shù)，且n＞1)．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

15、證明：
（1）若n為整數(shù)，則（2n+1）²-（2n-1）²一定是8的倍數(shù)；
（2）若n為正整數(shù)時，n³-n的值必是6的倍數(shù)；
（3）四個連續(xù)自然數(shù)的積加1必為一完全平方數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

我們已經(jīng)知道了一些特殊的勾股數(shù)，如三個連續(xù)整數(shù)中的勾股數(shù)：3、4、5；三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10；由此發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)．
（1）如果a、b、c是一組勾股數(shù)，即滿足a²+b²=c²，求證：ka、kb、kc（k為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)．
（2）另外利用一些構成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n為整數(shù)，m＞n，m＞1）
②世界上第一次給出的勾股數(shù)的公式，被收集在《九章算術》中a=

(m2-n2)，b=mn，c=

(m2+n2)（m、n為正整數(shù)，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉圖提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數(shù)）
④畢達哥拉斯學派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n為正整數(shù)），請你在上述的四個公式中選擇一種加以證明，滿足公式的a、b、c是一組勾股數(shù)
（3）請根據(jù)你在（2）中所選的公式寫出一組勾股數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源：新課標教材導學　　數(shù)學七年級(第一學期) 題型：044

　　四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1一定是一個完全平方數(shù)．完全平方數(shù)是這樣一種數(shù)：它可以寫成一個正整數(shù)的平方．例如：16是4的平方，81是9的平方．

我們看下面的例子：

　　1·2·3·4＋1＝25(＝5²)；2·3·4·5＋1＝121(＝11²)；

　　3·4·5·6＋1＝361(＝19²)；

　　如果我們設四個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個是n，那么這四個連續(xù)自然數(shù)的積加上1的和可以表示為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1，它的結果是n²＋3n＋1的平方，因為n為自然數(shù)，所以n²＋3n＋1也是一個自然數(shù)，即：

　　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n²＋3n＋1)²．①

　　學到整式的乘法時，我們還可以證明這個等式成立．

　　當n取任意自然數(shù)代入①，不僅可以知道n(n＋l)(n＋2)(n＋3)＋1是一個完全平方數(shù)，還可以知道它是什么數(shù)的平方．

　　你可以算一算：20·21·22·23＋1＝？，50·51·52·53＋1＝？

　　同學們，根據(jù)同樣的道理，四個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))的積再加上16是一個完全平方數(shù)嗎？請你試一試．