Question

（2012•昆山市二模）如圖，直線l的解析式為y=

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x，⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P且與直線l平行（或重合）的直線與⊙O有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有

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個(gè)．

Answer 1

分析：由直線l的解析式的特點(diǎn)，得出∠1的度數(shù)為30°，然后抓住兩個(gè)特殊情況考慮：當(dāng)過點(diǎn)P與直線l平行，且與圓O相切時(shí)，切點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖所示，設(shè)切點(diǎn)為E，連接OE，利用切線的性質(zhì)得到OE與EP垂直，由兩直線平行同位角相等得到∠EPO的度數(shù)為30°，在直角三角形POE中，由30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OP的長(zhǎng)，得到此時(shí)P的坐標(biāo)；當(dāng)過點(diǎn)P與直線l平行，且與圓O相切時(shí)，切點(diǎn)在第四象限時(shí)，如圖所示，設(shè)切點(diǎn)為F，同理求出此時(shí)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)題意得出過點(diǎn)P且與直線l平行（或重合）的直線與圓O有公共點(diǎn)時(shí)P橫坐標(biāo)的范圍，在范圍中找出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：∵直線l的解析式為y=

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x，
∴∠1=30°，
當(dāng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線與圓O相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖所示，

此時(shí)直線PE與圓O相切，切點(diǎn)為點(diǎn)E，
∵直線l∥PE，∠1=30°，
∴∠EPO=30°，
在Rt△PEO中，OE=1，
可得OP=2OE=2，又P在x軸負(fù)半軸上，
∴此時(shí)P坐標(biāo)為（-2，0）；
當(dāng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線與圓O相切，且切點(diǎn)在第四象限時(shí)，如圖所示，
此時(shí)直線PF與圓O相切，切點(diǎn)為點(diǎn)F，
∵直線l∥PF，∠1=30°，
∴∠FPO=30°，
在Rt△PFO中，OF=1，
可得OP=2OF=2，又P在x軸正半軸上，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（2，0），
綜上，滿足題意的點(diǎn)P橫坐標(biāo)p的范圍是-2≤p≤2，
則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有-2，-1，0，1，2，共5個(gè)．
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：直線傾斜角與直線解析式的關(guān)系，含30°直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)題意得出直線l與x軸的夾角是解本題的突破點(diǎn)．