Question

如圖所示，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，將點(diǎn)C折疊到MN上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為BQ．連結(jié)QP，PB，求PN，MP和CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：由中點(diǎn)的定義可得BN=

1

2

，折疊的性質(zhì)可得BP=BC=1，在Rt△BPN中，根據(jù)勾股定理求PN的值，即可求得MP；由折疊的性質(zhì)知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，從而求出CQ=PQ=PBtan30°．

解答：解：∵ABCD是正方形，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，
∴ABNM是矩形，BN=

1

2

BC=

1

2

，
∵BP=BC=1（折疊的性質(zhì)），
在Rt△BPN中，
PN=

BP2-BN2

=

3

2

，
∴MP=MN-PN=1-

3

2

；
∵∠CBQ=∠PBQ=

1

2

∠PBC，BC=PB=2BN=1，∠BPQ=∠C=90°
∴cos∠PBN=BN：PB=1：2
∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°
∴CQ=PQ=PBtan30°=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查了翻折變換（折疊問題），本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．