Question

如圖1，四邊形ABCD為正方形，點A在y軸上，點B在x軸上，且OA=4，OB=2，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點C．
（1）求點C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）如圖2，將正方形ABCD沿x軸向右平移______個單位長度時，點A恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．
（3）在（2）的情況下，連結(jié)AO并延長它，交反比例函數(shù)的圖象于點Q，點P是x軸上的一個動點（不與點O、B重合），
①當(dāng)點P的坐標(biāo)為多少時，四邊形ABQP是矩形？請說明理由．
②過點A作AF⊥x軸于點F，問：當(dāng)點P的坐標(biāo)為多少時，△PAF與△OAF相似？（直接寫出答案）

Answer 1

解：（1）如圖1所示，過點C作CE⊥x軸于點E，則∠AOB=∠BEC=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=2，
∴OE=OB+BE=6，
∴點C的坐標(biāo)為（6，2）．
將C（6，2）代入y=，得 2=，解得 k=12，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=；

（2）∵A（0，4），
∴OA=4，
當(dāng)y=4時，x==3，
∴將正方形ABCD沿x軸向右平移3個單位長度時，點A恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．
故答案為：3；

（3）①當(dāng)點P的坐標(biāo)為（-5，0）時，四邊形ABQP是矩形．
理由如下：
∵由（2）知A（3，4），B（5，0），雙曲線上各點關(guān)于原點對稱，
∴點A與點Q關(guān)于原點對稱，
∴Q（-3，-4），
∴AO=AQ==5，
又∵PO=OB=5，
∴四邊形ABQP是平行四邊形，
又∵PB=AQ=10，
∴四邊形ABQP是矩形；
②∵A（3，4），F(xiàn)（3，0），
∴OA=5，
設(shè)P（x，0），
當(dāng)△AOF∽△PAF時，=，即=，解得x=-或x=，
∴P（-，0）或（，0）；
當(dāng)△AOF∽△APF時，
∵AF=AF，
∴OF=PF，
∴P（6，0），
故點P的坐標(biāo)為（-，0）或（，0）或（6，0）．
分析：（1）過點C作CE⊥x軸于點E，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC，再由全等三角形的性質(zhì)可求出OE的長，進(jìn)而得出C點坐標(biāo)．把點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=即可得出其解析式；
（2）根據(jù)A（0，4）可知OA=4，再把y=4代入反比例函數(shù)的解析式求出x的值即可；
（3）①先根據(jù)點A與點Q關(guān)于原點對稱，再根據(jù)勾股定理求出AQ的長，由矩形的對角線相等即可得出P點坐標(biāo)；
②設(shè)P（x，0），再根據(jù)△AOF∽△PAF與△AOF∽△APF兩種情況進(jìn)行分類討論．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識是解答此題的關(guān)鍵．