Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若CB=2，CE=4，①求圓的半徑；②求DE、DF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）①3；②，.

【解析】

試題分析：（1）連接OE，證OE∥AD，即可得出OE⊥CD根據(jù)切線判定推出即可；（2）證△COE∽△CAD，求出DE，AD，證△DEF∽△DAF，推出DE2=DF×AD，即可求出DF．

試題解析：（1）如圖，連接OE，

∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.

∵AE平分∠CAD，∴∠OAE=∠DAE. ∴∠OEA=∠DAE. ∴OE∥AD.

∵DE⊥AD，∴OE⊥DE.

∵OE為半徑，∴CD是⊙O的切線。

（2）①設(shè)⊙O的半徑是r，

∵CD是⊙O的切線，∴∠OEC=90°.

由勾股定理得：OE²+CE²=OC²，即，解得r=3，即⊙O的半徑是3

 ②∵由（1）知：OE∥AD，∴，△COE∽△CAD.

∴. ∴. ∴，解得.

如圖，連接BE、EF，

∵AB是直徑，∴∠BEA=90°. ∴∠ABE+∠BAE=90°.

∵B、E、A、F四點共圓，∴∠EFD=∠ABE.

∵AE平分∠CAD，∴∠BAE=∠DAE. ∴∠DAE+∠EFD=90°.

∵ED⊥AD，∴∠FED+∠EFD=90°. ∴∠DAE=∠FED.

∵∠D=∠D，∴△EFD∽△AED. ∴，∴.

考點：1.切線的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì)．