Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²-2ax+c-1的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=-上，與x軸相交于B（α，0）、C（β，0）兩點(diǎn)，其中α＜β，且α²+β²=10．
（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)這個(gè)拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為P，H是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)H作HK∥PB，交PC于K，連接PH，記線(xiàn)段BH的長(zhǎng)為t，△PHK的面積為S，試將S表示成t的函數(shù)；
（3）求S的最大值，以及S取最大值時(shí)過(guò)H、K兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式．

Answer 1

解：（1）由y=ax²-2ax+c-1=a（x-1）²+c-1-a得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為
A（1，c-1-a）．
∵點(diǎn)A在直線(xiàn)y=-x+8上，
∴c-1-a=-×1+8，
即c=a+，①
又拋物線(xiàn)與x軸相交于B（α，0）、C（β，0）兩點(diǎn)，
∴α、β是方程ax²-2ax+c-1=0的兩個(gè)根．
∴α+β=2，αβ=，
又α²+β²=10，即（α+β）²-2αβ=10，
∴4-2×=10，
即c=1-3a②，
由①②解得：a=-，c=5，
∴y=-x²+x+4，
此時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸確有兩個(gè)交點(diǎn)，
答：這個(gè)拋物線(xiàn)解析式為：y=-x²+x+4．

（2）由拋物線(xiàn)y=-x²+x+4，
令x=0，得y=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
令y=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∵α＜β，∴B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP==，
∵BH=t，∴HC=4-t．
∵HK∥BP，=，=，
∴PK=t
如圖，過(guò)H作HG⊥PC于G，則HG=HC，
sin∠BCP=（4-t）•=（4-t），
∴S=×t×（4-t）=t²+2t，
∵點(diǎn)H在線(xiàn)段BC上且HK∥BP，∴0＜t＜4．
∴所求的函數(shù)式為：S=-t²+2t（0＜t＜4），
答：將S表示成t的函數(shù)為S=-t²+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-t²+2t=-（t-2）²+2（0＜t＜4），知：
當(dāng)t=2（滿(mǎn)足0＜t＜4）時(shí)，S取最大值，其值為2，
此時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，0），
∵HK∥PB，且H為BC的中點(diǎn)，
∴K為PC的中點(diǎn)，
作KK′⊥HC于K′，
則KK′=PO=2，OK′=CO=，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，2），
設(shè)所求直線(xiàn)的解析式為y=kx+b，則
，
∴
故所求的解析式為y=4x-4，
答S的最大值是2，S取最大值時(shí)過(guò)H、K兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式是y=4x-4．
分析：（1）把頂點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式得出c=a+，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出c=1-3a，得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出P、B、C的坐標(biāo)，BC=4，根據(jù)sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t，過(guò)H作HG⊥PC于G，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案；
（3）根據(jù)S=-（t-2）²+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到點(diǎn)K的坐標(biāo)，設(shè)所求直線(xiàn)的解析式為y=kx+b，代入得到方程組求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的定義，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．