Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出點(diǎn)A、C及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，若四邊形AA′C′C為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；
（3）記AC′與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)E，試在x軸上找點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△A′C′E相似．

Answer 1

解：（1）∵，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²+x-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．
∵x=0時(shí)，y=-4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）．
∵y=x²+x-4=（x²+2x）-4=（x+1）²-，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-）；

（2）∵四邊形AA′C′C為菱形，
∴AA′=AC===5，
∴將A（-3，0）向右平移5個單位長度，得到A′（2，0），
∴將y=（x+1）²-向右平移5個單位長度得到平移后拋物線的表達(dá)式為y=（x-4）²-；

（3）設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
∵A（-3，0），C′點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-4），
∴，解得，
∴直線AC′的解析式為y=-x-，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-×（-1）-=-1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，-1），
∵A′（2，0），
∴A′E==，A′C′=AA′=5，C′E==3，AE==．
以點(diǎn)A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△A′C′E相似時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P的位置分兩種情況：
①如果點(diǎn)P在A點(diǎn)右邊的x軸上；
∵四邊形AA′C′C為菱形，
∴AA′=A′C′，
∴∠A′AC′=∠A′C′A．
∴當(dāng)=時(shí)，△AEP∽△C′A′E，或者當(dāng)=時(shí)，△AEP∽△C′EA′，
∴=，或者=，
解得AP=3，或者AP=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（0，0），P₂（-，0）；
②如果點(diǎn)P在A點(diǎn)左邊的x軸上；
∵∠EAP＞90°，∠EA′C′＞90°，
∴以點(diǎn)A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△A′C′E相似時(shí)，A與A′一定對應(yīng)．
∵tan∠EAO=，∠C′A′F=，
∴∠EAO＜∠C′A′F，
∴180°-∠EAO＞180°-∠C′A′F＞180°-∠C′A′F-∠EA′O，
∴∠EAP＞∠EA′C′，
∴此時(shí)，以點(diǎn)A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△A′C′E不可能相似．
綜上所述，所求P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（0，0），P₂（-，0）．
分析：（1）在拋物線的解析式中，令y=0，求出x的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，求出y的值，得到C點(diǎn)坐標(biāo)；利用配方法將一般式寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)菱形的四邊相等得出AA′=AC=5，則由點(diǎn)向右平移，橫坐標(biāo)相加，縱坐標(biāo)不變可知將A向右平移5個單位長度，得到A′，再根據(jù)圖形的平移規(guī)律與圖形上點(diǎn)的平移規(guī)律相同，及解析式左加右減的平移規(guī)律得出平移后拋物線的表達(dá)式；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC′的解析式，將x=-1代入，求出y的值，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)點(diǎn)P的位置分兩種情況進(jìn)行討論：①如果點(diǎn)P在A點(diǎn)右邊的x軸上；先由菱形的性質(zhì)得出AA′=A′C′，則∠A′AC′=∠A′C′A，即A與C′一定對應(yīng)，所以當(dāng)=時(shí)，△AEP∽△C′A′E，或者當(dāng)=時(shí)，△AEP∽△C′EA′，分別將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可求出AP的值，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo)為；②如果點(diǎn)P在A點(diǎn)左邊的x軸上；先由∠EAP＞90°，∠EA′C′＞90°，得出以點(diǎn)A、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△A′C′E相似時(shí)，A與A′一定對應(yīng)，再證明∠EAP≠∠EA′C′，得出△AEP與△A′C′E不可能相似．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，點(diǎn)、圖形平移的規(guī)律，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．