Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D，E為BC中點(diǎn)．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）延長(zhǎng)ED交BA的延長(zhǎng)線于F，若DF=4，AF=2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD和DB，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出DE=BE，推出∠2=∠4，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠1=∠3，根據(jù)∠3+∠4=∠1+∠2=∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）在Rt△FDO中，根據(jù)勾股定理求出半徑，證△FDO∽△FBE，得出比例式求出BE，即可求出BC．

解答：解（1）如圖，連接DB，OD，
∵OD=OB
∴∠1=∠3．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°=∠CDB，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴DE=BE，
∴∠2=∠4．
∵BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠ABC=90°=∠3+∠4，
∴∠1+∠2=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD為⊙O半徑，
∴DE為⊙O的切線；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠FDO=90°，
設(shè)OA=OD=r．
∵OF²=FD²+OD²，DF=4，AF=2，
∴（r+2）²=4²+r²，
解得r=3，
∴OA=OD=3，F(xiàn)B=8，
∵∠F=∠F，∠FDO=∠FBE=90°，
∴△FDO∽△FBE，
∴

FD

FB

=

OD

BE

，
∴BE=6，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BC=2BE=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．