Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）過(guò)（0，4），（2，-2）兩點(diǎn)，若拋物線在x軸上截得的線段最短時(shí)，求這時(shí)的拋物線解析式．

Answer 1

分析：把（0，4），（2，-2）代入解析式整理得，b=-2a-3，c=4，拋物線的解析式變?yōu)椋簓=ax²-（2a+3）x+4，則拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)可表示為

(2a+3)2-16a

|a|

=

4- 4 a + 9 a2

(a＞0)，把根號(hào)內(nèi)的式子看作為關(guān)于

1

a

的二次函數(shù)，所以當(dāng)

1

a

=-

-4

2×9

=

2

9

，即a=

9

2

時(shí)，拋物線在x軸上截得的線段最短，將a=

9

2

代入b=-2a-3，得b=-12，即得到拋物線解析式．

解答：解：∵拋物線過(guò)（0，4），（2，-2）兩點(diǎn)，
∴代入解析式整理得，b=-2a-3，c=4，
∴y=ax²+bx+c=ax²-（2a+3）x+4，
∴此拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)可表示為

(2a+3)2-16a

|a|

=

4- 4 a + 9 a2

(a＞0)，
∴當(dāng)

1

a

=-

-4

2×9

=

2

9

，即a=

9

2

時(shí)，拋物線在x軸上截得的線段最短，將a=

9

2

代入b=-2a-3，得b=-12，
∴拋物線的解析式是：y=

9

2

x2-12x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），通過(guò)解方程組確定a，b，c的值．也考查了它與x軸兩交點(diǎn)的距離公式：|x₁-x₂|=

b2-4ac

|a|

（x₁，x₂是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．