Question

對(duì)滿足t²+s²=1的一切實(shí)數(shù)t，s，不等式（m+2）t+2（2s²-1）＞t（2s²-1）+t²+2m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：首先由t²+S²=1，可得t²=1-s²與-1≤t≤1，然后將不等式（m+2）t+2（2s²-1）＞t（2s²-1）+t²+2m整理化簡(jiǎn)可得：m＜-2t²+t+1，利用二次函數(shù)的知識(shí)，即可求得-2t²+t+1的最小值，則問(wèn)題得解．

解答：解：∵t²+S²=1，
∴t²=1-s²，
∵t²≤1，
∴-1≤t≤1，
∵（m+2）t+2（2s²-1）＞t（2s²-1）+t²+2m，
∴mt+2t+2（2S²-1）＞t（2S²-1）+t²+2m，
∴mt-2m＞（t-2）（2s²-1）+t²-2t，
∴m（t-2）＞（t-2）（2s²-1）+t（t-2），
∵-1≤t≤1，
∴t-2＜0，
∴m＜2s²-1+t，
∵s²=1-t²，
∴m＜2-2t²+t-1，
即：m＜-2t²+t+1，
由二次函數(shù)得：當(dāng)t=

1

4

時(shí)，-2t²+t+1最大值為

9

8

，
當(dāng)t=1時(shí)，-2t²+t+1=0，
當(dāng)t=-1時(shí)，-2t²+t+1=-2，
∴-2t²+t+1的最小值為-2，
∴m＜-2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m＜-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等式與不等式的綜合應(yīng)用，以及二次函數(shù)最值問(wèn)題．此題難度較大，注意因式分解方法的應(yīng)用與分類討論思想的應(yīng)用．