【問題】在正方形網(wǎng)格中,如圖(一),△OAB的頂點分別為O(0,0),A(1,2),B(2,-1).
(1)以點O(0,0)為位似中心,按比例尺3:1在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA′B′,放大后點A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′.畫出△OA′B′,并寫出點A'、B'的坐標:A′(
3
3
6
6
),B′(
6
6
-3
-3
);
(2)在(1)中,若點C(a,b)為線段AB上任一點,寫出變化后點C的對應(yīng)點C′的坐標(
3a
3a
,
3b
3b
);
【拓展】在平面內(nèi),先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小,使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k,并且原多邊形上的任一點P,它的對應(yīng)點P'在線段OP或其延長線上;接著將所得多邊形以點O為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ,這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換,記為O(k,θ),其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋轉(zhuǎn)角.
【探索】如圖(二),完成下列問題:
(3)填空:如圖1,將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心,放大為原來的2倍,再逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ADE,這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A(
2
2
,
60°
60°
);
(4)如圖2,△ABC是邊長為3cm的等邊三角形,將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A(
43
,90°)
,得到△ADE,求線段BD的長.
分析:(1)利用已知畫出位似圖形,進而得出A′,B′的坐標即可;
(2)利用(1)中點的坐標變化規(guī)律得出即可;
(3)依題意已知1中△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心,放大為原來的2倍,再逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ADE,故可得A的坐標.
(4)利用△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A(
4
3
,90°),得到△ADE,可推出∠BAD=90°,利用勾股定理可求出BD的值.
解答:解:(1)∵以點O(0,0)為位似中心,按比例尺3:1在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA′B′,
∴如圖所示:A′(3,6),B′(6,-3);
故答案為:3,6;6,-3;

(2)根據(jù)(1)中規(guī)律可以得出:若點C(a,b)為線段AB上任一點,
故變化后點C的對應(yīng)點C′的坐標為:(3a,3b);
故答案為:3a,3b;

(3)這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換,記為O(k,θ),其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋轉(zhuǎn)角.已知1中△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心,放大為原來的2倍,再逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ADE,
故可得A(2,60°).
故答案為:(2,60°);

(4)已知△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A(
4
3
,90°),得到△ADE以及AD=
4
3
×3=4(cm),
可推出∠BAD=90°,
利用勾股定理可求出BD=
32+42
=5(cm).
點評:此題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識,利用相似變換的性質(zhì)得出對應(yīng)點的坐標是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正方形網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點都在格點上,結(jié)合所給的平面直角坐標系解答下列問題:
【小題1】將△ABC向右平移5個單位長度,畫出平移后的△A1B1C1 ;
【小題2】畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2 ;
【小題3】將△ABC繞原點O 旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C3

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問題:
【小題1】(1) 求的度數(shù);
【小題2】(2) 求證:
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在正方形網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點都在格點上,結(jié)合所給的平面直角坐標系解答下列問題:
【小題1】將△ABC向右平移5個單位長度,畫出平移后的△A1B1C1 ;
【小題2】畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2 ;
【小題3】將△ABC繞原點O 旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C3 ;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

【問題】在正方形網(wǎng)格中,如圖(一),△OAB的頂點分別為O(0,0),A(1,2),B(2,-1).
(1)以點O(0,0)為位似中心,按比例尺3:1在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA′B′,放大后點A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′.畫出△OA′B′,并寫出點A'、B'的坐標:A′(______,______),B′(______,______);
(2)在(1)中,若點C(a,b)為線段AB上任一點,寫出變化后點C的對應(yīng)點C′的坐標(______,______);
【拓展】在平面內(nèi),先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小,使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k,并且原多邊形上的任一點P,它的對應(yīng)點P'在線段OP或其延長線上;接著將所得多邊形以點O為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ,這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換,記為O(k,θ),其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋轉(zhuǎn)角.
【探索】如圖(二),完成下列問題:
(3)填空:如圖1,將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心,放大為原來的2倍,再逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ADE,這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A(______,______);
(4)如圖2,△ABC是邊長為3cm的等邊三角形,將它作旋轉(zhuǎn)相似變換數(shù)學(xué)公式,得到△ADE,求線段BD的長.

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