Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過B點，且頂點在直線x＝上．

(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連結BD，已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBD的周長最�。�請求出點P的坐標．

(4)在(2)、(3)的條件下，若點M是線段OB上的一個動點(與點O、B不重合)，過點M作MN∥BD交x軸于點N，連結PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線經(jīng)過B(0，4)，∴，　1分 　　∵頂點在直線上，∴，， 　　∴所求函數(shù)關系式為：　2分 　　(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴， 　　∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5， 　　∴C、D兩點的坐標分別是(5，4)、(2，0)．　3分 　　當時，，　4分 　　當時，， 　　∴點C和點D在所求拋物線上．　5分 　　(3)設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，　6分 　　設直線CD對應的函數(shù)關系式為， 　　則，解得：， 　　∴，　7分 　　當時，，∴P(，)，　8分 　　(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD， 　　∴，，，　9分 　　設對稱軸交x軸于點F，則， 　　∵，， 　　∴(　10分 　　由， 　　∴當時，S取得最大值為，　11分 　　此時點M的坐標為(0，)．　12分