Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接EF，若BE=DF，點P是EF的中點．

（1）求證：AE=AF；

（2）若∠AEB=75°，求∠CPD的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）105°.

【解析】

試題

（1）由已知條件證△ABE≌△ADF即可可得到AE=AF；

（2）

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，

又∵BE=DF，

∵在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF；

（2）連結AP，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠BAE+∠EAD=90°，

∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，

又∵AE=AF，

∴∠AEF=45°，

∵∠AEB=75°，

∴∠CEF=180°﹣45°﹣75°=60°，

∴∠EFC=180°-90°-60°=30°，

∵∠ECF=90°，P為EF中點，

∴CP=PF=EF，

∴∠EFC=∠PCF=30°，

∵P為EF中點，∠EAF=90°，

∴AP=EF，

∴AP=CP，

∵在△APD和△CPD中： ，

∴△APD≌△CPD（SSS），

∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=45°，

∴∠CPD=180°﹣∠PCD﹣∠CDP=105°．