Question

如圖：△PQR是等邊三角形，∠APB=120°
（1）求證：QR²=AQ•RB；
（2）若AP=，AQ=2，PB=．求RQ的長(zhǎng)和△PRB的面積．

Answer 1

（1）證明：∵△PQR是等邊三角形，
∴QR=PQ=PR，∠PQR=∠PRQ=∠QPR=60°，
∴∠AQP=∠PRB=120°，
∴∠A+∠APQ=60°，
又∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APQ=∠B，
∴△AQP∽△PRB，
∴=，QR=PQ=PR，
∴QR²=AQ•RB．

（2）解：∵△PAQ∽△BPR
∴PA：BP=AQ：PR
即2：=2：PR
∴PR=，
在等邊△PQR中，PQ=RQ=PR=底邊RQ的高為=
∴PQ：BR=AQ：PR，即：BR=2：，BR=1，
∵△PRB的高為等邊△PQR的高
∴△PRB的面積為×1×=．
分析：（1）利用等邊三角形性質(zhì)，進(jìn)一步證得△AQP∽△PRB，再由三角形相似的性質(zhì)解答即可．
（2）利用證得的△PAQ∽△BPR，就可得：PA：BP=AQ：PR，則可算出PR、BR的長(zhǎng)，在等邊△PQR中，PR=RQ，可求出它的高，也就是△PRB的高，由此面積也可求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)以及等量代換的滲透，解題的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用．