Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且A為DO中點，∠E=30°．
求證：BD是⊙O的切線．

Answer 1

證明：連接OB，
∵∠E=30°，
∴∠AOB=2∠E=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BAO=60°，AB=OA，
∵A為DO的中點，
∴AD=OA，
∴AB=AD=OA，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAO是△ABD的外角，
∴∠D=∠ABD=30°，
∴∠OBD=180°-∠D-∠AOB=180°-30°-30°=90°，
∴OB⊥BD，即BD是⊙O的切線．
分析：連接OB，由圓周角定理可知∠AOB=2∠E=60°，由OB=OA，可知△AOB是等邊三角形，故∠BAO=60°，AB=OA，再由A為DO的中點可知，AD=OA，故AB=AD，由三角形外角的性質(zhì)可知∠D=∠ABD=30°，故可得出∠OBD=90°，故可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是切線的判定，在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．