Question

（2007•永州）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．
（1）求DC的長(zhǎng)；
（2）E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)為梯形外一點(diǎn)，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，試判斷△ECF的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求DC的長(zhǎng)，過(guò)A點(diǎn)作AG⊥DC，垂足為G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=10；
（2）由已知可證△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°，得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下，過(guò)F點(diǎn)作FH⊥BE，要求DE的長(zhǎng)，只需求BF的長(zhǎng)，在直角三角形BGF中，F(xiàn)G=CE=EG，由勾股定理可求．
解答：解：（1）過(guò)A點(diǎn)作AG⊥DC，垂足為G，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
∴四邊形ABCG為矩形，
∴CG=AB=5，AG=BC=10，
∵tan∠ADG==2，
∴DG=5，
∴DC=DG+CG=10；

（2）∵DE=BF，∠FBC=∠CDE，BC=DC，
∴△DEC≌△BFC，
∴EC=CF，∠ECD=∠FCB，
∵∠BCE+∠ECD=90°，∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；

（3）過(guò)F點(diǎn)作FH⊥BE，
∵BE⊥EC，CF⊥CE，CE=CF，
∴四邊形ECFH是正方形，
∵BE：EC=4：3，∠BEC=90°，
∴BC²=BE²+EC²，
∴EC=6，BE=8，
∴BH=BE-EH=2，
∴DE=BF=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)和勾股定理的綜合運(yùn)算．