Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C．
（1）如圖1，當AB∥CB₁時，設A₁B₁與BC相交于D．證明：△A₁CD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接AA₁、BB₁，設△ACA₁和△BCB₁的面積分別為S₁、S₂．求證：S₁：S₂=1：3；
（3）如圖3，設AC中點為E，A₁B₁中點為P，AC=a，連接EP，當θ=______°時，EP長度最大，最大值為______．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
∴△A₁CD是等邊三角形；

（2）證明：由旋轉的性質(zhì)可知AC=CA₁，∠ACA₁=∠BCB₁，BC=CB₁，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1²：²=1：3；

（3）解：如圖，連接CP，當△ABC旋轉到△A₁B₁C的位置時，
此時θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=a+a=a．
故答案為：120，a．
分析：（1）當AB∥CB₁時，∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，則∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，可證：△A₁CD是等邊三角形；
（2）由旋轉的性質(zhì)可證△ACA₁∽△BCB₁，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP，當E、C、P三點共線時，EP最長，當△ABC旋轉到△A₁B₁C的位置時，此時θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=a+a=a．根據(jù)圖形求出此時的旋轉角及EP的長．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)，特殊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)．關鍵是根據(jù)旋轉及特殊三角形的性質(zhì)證明問題．