Question

小明在玩一副三角板時發(fā)現(xiàn)：含45°角的直角三角板的斜邊可與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合（如圖①）．即△C´DA´的頂點A´、C´分別與△BAC的頂點A、C重合．現(xiàn)在，他讓△C´DA´固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過△C´DA´的直角頂點D．

（1）如圖②，將△BAC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜180°），使BC邊經(jīng)過點D，則α＝  °．
（2）如圖③，將△BAC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使BC邊經(jīng)過點D．試說明：BC∥A´C´．
（3）如圖④，若AB＝，將將△BAC沿射線A´C´方向平移m個單位長度，使BC邊經(jīng)過點D，求m的值．

Answer 1

（1）15°；（2）過點A作AH⊥BC．垂足為H．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：旋轉(zhuǎn)角∠CA C´＝∠BAH．在Rt△ABC中，由AH⊥BC可得∠C＝∠BAH，則∠CA C´＝∠C，從而可以證得結(jié)論；（3）－

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義結(jié)合直角三角板的特征即可求得結(jié)果；
（2）過點A作AH⊥BC．垂足為H．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：旋轉(zhuǎn)角∠CA C´＝∠BAH．在Rt△ABC中，由AH⊥BC可得∠C＝∠BAH，則∠CA C´＝∠C，從而可以證得結(jié)論；
（3）過點D作DH⊥AC，垂足為H．由DH＝A´C´＝，△DHC∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CH＝，即可求得結(jié)果.
（1）如圖②，α＝∠A´C´A＝45°－30°＝15°；
（2）如圖③，過點A作AH⊥BC．垂足為H．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：旋轉(zhuǎn)角∠CA C´＝∠BAH．
在Rt△ABC中，∵AH⊥BC，
∴∠C＝∠BAH
∴∠CA C´＝∠C
∴BC∥A´C´；
（3）如圖④，過點D作DH⊥AC，垂足為H．
由DH＝A´C´＝，△DHC∽△BAC，可得CH＝．
所以m的值為－．

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．