Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線與BC，AB的交點(diǎn)分別為D，E．
（1）若AD=10，，求AC的長(zhǎng)和tanB的值；
（2）若AD=1，∠ADC=α，參考（1）的計(jì)算過(guò)程直接寫(xiě)出的值（用sinα和cosα的值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ADC中利用銳減三角函數(shù)的定義求得AC=4，根據(jù)勾股定理求得CD=6；然后利用DE是線段AB的垂直平分線的性質(zhì)推知AD=BD；最后在直角三角形ABC中，由銳角三角函數(shù)的定義來(lái)求tanB的值即可；
（2）根據(jù)（1）的解答過(guò)程直接寫(xiě)出結(jié)果=．
解答：解：（1）∵，AD=10，
∴=；
又∵AD=10，
∴AC=8；
∴在Rt△ADC中，CD=6；
∵AB的垂直平分線是DE，
∴AD=BD，
∴tanB====，即tanB=；

（2）在Rt△ADC中，AC=AD•sin∠ADC，
∵AD=1，∠ADC=α，
∴AC=sinα，CD=cosα；
又∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴BD=AD=1，
∴∠DAB=∠B（等邊對(duì)等角）；
而∠ADC=∠DAB+∠B（外角定理），
∴∠B=，
∴tan∠B==，即=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義．求BC的長(zhǎng)度時(shí)，利用“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”求得BD的長(zhǎng)度是解答（1）的關(guān)鍵所在．