【問題】如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=2，PB=

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，PC=1，求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．
【探究】解題思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP′．
（1）△P′PB是三角形，△PP′A是三角形，∠BPC=°；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的邊長為．
【拓展應(yīng)用】
如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=

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，BP=

2

，PC=1；
（3）求∠BPC度數(shù)的大��；
（4）求正方形ABCD的邊長．

第一步，在一張矩形的紙片的一端，設(shè)MN=2，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，然后把紙片展平．
第三步，如圖3，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把它折到圖3中所示的AD處．則AD=，CD=．
第四步，展平紙片，按照所得的D點折出DE，矩形BCDE就是藝術(shù)大師們所說的黃金矩形．則黃金矩形的寬與長之比（結(jié)果可用根號表示）．
第五步，如圖5，作NP⊥BD于P，交BC于F，則CF=．

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，過點C作CD⊥AB于點D，小明把一個三角板的直角頂點放置在點D處兩條直角邊分別交線段BC于點E，交線段AC于點F，在三角板繞著點D旋轉(zhuǎn)的過程中他發(fā)現(xiàn)了線段BE，CE，CF，AF之間存在著某種數(shù)量關(guān)系．

（1）旋轉(zhuǎn)過程中，若點E是BC的中點，點F也是AC的中點嗎？請說明理由；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，若DE⊥BC，那么

BE

CE

=

CF

AF

成立嗎？請說明理由；
（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若點E是BC上任意一點，（2）中的結(jié)論還成立嗎？

已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=30°，∠DAE=60°，AD=3，AB=6

3

，且AB，AD在同一直線上，把圖1中的△ADE沿射線AB平移，記平移中的△ADE為△A′DE（如圖2），且當點D與點B重合時停止運動，設(shè)平移的距離為x．
（1）當頂點E恰好移動到邊AC上時，求此時對應(yīng)的x值；
（2）在平移過程中，設(shè)△A′DE與Rt△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；
（3）過點C作CF∥AE交AB的延長線于點F，點M為直線BC上一動點，連接FM，得到△MCF，將△MCF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′CF′（M的對應(yīng)點為M′，F(xiàn)的對應(yīng)點為F′），問△FMM′的面積能否等于

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？若能，請求AM′的長度，若不能，請說明理由．

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=BC=2，對角線AC和BD相交于點O．點E在AB上，點F在CB延長線上，連結(jié)EF，且BE=BF．
（1）連結(jié)AF，CE，則線段AF與CE的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（2）將圖1中的△EBF繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），連結(jié)AF、CE．試在圖2中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并判斷此時（1）中的兩個結(jié)論是否成立，寫出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的△EBF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使到一邊BF落在線段BO上，此時△EBF的一邊EF與BC交于點M，連結(jié)AF、CE．試在圖3中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并解答下列問題：
①此時（1）中的兩個結(jié)論是否成立？（直接寫出你的猜想，不必證明．）
②已知OF=

5

6

，試求BM的長．

如圖，A、B是直線a上的兩個定點，點C、D在直線b上運動（點C在點D的左側(cè)），AB=CD=6cm，已知a∥b，連接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折疊得△A₁BC．
問題1：當A₁、D兩點重合時，則AC=cm；
問題2：當A₁、D兩點不重合時，連接A₁D，可探究發(fā)現(xiàn)A₁D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）將△ABC沿BC翻折，點A關(guān)于直線BC的對稱點為A₁，連接AA₁交BC所在直線于點M，由軸對稱的性質(zhì)，得AM=A₁ M，這一關(guān)系在變化過程中保持不變；
（2）因為四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)對角線的交點是O，易知AO=DO，這一關(guān)系在變化過程中也保持不變．
請你借助于小明的思考，說明AD₁∥BC的理由；
問題3：當A₁、D兩點不重合時，若直線a、b間的距離為

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cm，且以點A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，求AC的長．

觀察與發(fā)現(xiàn)：
（1）小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）．你認為△AEF是什么形狀的三角形？為什么？

實踐與運用：
如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進行折疊：對折、展平，得折痕EF（如圖①）；沿GC折疊，使點B落在EF上的點B′處（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點C落在DH上的點C′處（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如圖⑥）．
（2）在圖②中連接BB′，判斷△BCB′的形狀，請說明理由；
（3）圖⑥中的△GCC′是等邊三角形嗎？請說明理由．

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，OC=

2

，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB（或它們的反向延長線）相交于點D，E．
（1）當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），求證：OD+OE=2．
（2）當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時：
①在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．
②在圖3這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并給予證明．

閱讀下面的材料：
小明在研究中心對稱問題時發(fā)現(xiàn)：
如圖1，當點A₁為旋轉(zhuǎn)中心時，點P繞著點A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₁點，點P₁再繞著點A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₂點，這時點P與點P₂重合．
如圖2，當點A₁、A₂為旋轉(zhuǎn)中心時，點P繞著點A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₁點，點P₁繞著點A₂旋轉(zhuǎn)180°得到P₂點，點P₂繞著點A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₃點，點P₃繞著點A₂旋轉(zhuǎn)180°得到P₄點，小明發(fā)現(xiàn)P、P₄兩點關(guān)于點P₂中心對稱．

（1）請在圖2中畫出點P₃、P₄，小明在證明P、P₄兩點關(guān)于點P₂中心對稱時，除了說明P、P₂、P₄三點共線之外，還需證明；
（2）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，當A₁（0，3）、A₂（-2，0）、A₂（2，0）為旋轉(zhuǎn)中心時，點P（0，4）繞著點A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₁點；點P₁繞著點A₂旋轉(zhuǎn)180°得到P₂點；點P₂繞著點A₃旋轉(zhuǎn)180°得到P₃點；點P₃繞著點A₁旋轉(zhuǎn)180°得到點p₄點…．繼續(xù)如此操作若干次得到點P₅、P₆、…，則點P₂的坐標為，點_P2017的坐標為．

如圖①，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使A與C重合，這時DE為折底，△CBE為等腰三角形，再將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊，這時得到一個折疊而成的無縫隙、無重疊的矩形，這個矩形稱為“折得矩形”．
（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折成“折得矩形”嗎？，若能，請在圖②中畫出折痕；
（2）如圖③，正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜△ABC，使其頂點A在格點上，且由△ABC折成的“折得矩形”為正方形；
（3）如果一個三角形折成的“折得矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是．
（4）若一個四邊形能折成“折得矩形”，那么它必須滿足的條件是．