【問(wèn)題】如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=

3

，PC=1，求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．
【探究】解題思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP′．
（1）△P′PB是三角形，△PP′A是三角形，∠BPC=°；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的邊長(zhǎng)為．
【拓展應(yīng)用】
如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=

5

，BP=

2

，PC=1；
（3）求∠BPC度數(shù)的大��；
（4）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

第一步，在一張矩形的紙片的一端，設(shè)MN=2，利用圖1的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖2，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，然后把紙片展平．
第三步，如圖3，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把它折到圖3中所示的AD處．則AD=，CD=．
第四步，展平紙片，按照所得的D點(diǎn)折出DE，矩形BCDE就是藝術(shù)大師們所說(shuō)的黃金矩形．則黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比（結(jié)果可用根號(hào)表示）．
第五步，如圖5，作NP⊥BD于P，交BC于F，則CF=．

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，小明把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)D處兩條直角邊分別交線段BC于點(diǎn)E，交線段AC于點(diǎn)F，在三角板繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中他發(fā)現(xiàn)了線段BE，CE，CF，AF之間存在著某種數(shù)量關(guān)系．

（1）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F也是AC的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若DE⊥BC，那么

BE

CE

=

CF

AF

成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若點(diǎn)E是BC上任意一點(diǎn)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？

已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=30°，∠DAE=60°，AD=3，AB=6

3

，且AB，AD在同一直線上，把圖1中的△ADE沿射線AB平移，記平移中的△ADE為△A′DE（如圖2），且當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平移的距離為x．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)E恰好移動(dòng)到邊AC上時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的x值；
（2）在平移過(guò)程中，設(shè)△A′DE與Rt△ABC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接FM，得到△MCF，將△MCF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′CF′（M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′），問(wèn)△FMM′的面積能否等于

3

？若能，請(qǐng)求AM′的長(zhǎng)度，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=BC=2，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，連結(jié)EF，且BE=BF．
（1）連結(jié)AF，CE，則線段AF與CE的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（2）將圖1中的△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），連結(jié)AF、CE．試在圖2中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并判斷此時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立，寫(xiě)出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使到一邊BF落在線段BO上，此時(shí)△EBF的一邊EF與BC交于點(diǎn)M，連結(jié)AF、CE．試在圖3中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并解答下列問(wèn)題：
①此時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？（直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明．）
②已知OF=

5

6

，試求BM的長(zhǎng)．

如圖，A、B是直線a上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C、D在直線b上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），AB=CD=6cm，已知a∥b，連接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折疊得△A₁BC．
問(wèn)題1：當(dāng)A₁、D兩點(diǎn)重合時(shí)，則AC=cm；
問(wèn)題2：當(dāng)A₁、D兩點(diǎn)不重合時(shí)，連接A₁D，可探究發(fā)現(xiàn)A₁D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）將△ABC沿BC翻折，點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A₁，連接AA₁交BC所在直線于點(diǎn)M，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AM=A₁ M，這一關(guān)系在變化過(guò)程中保持不變；
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)是O，易知AO=DO，這一關(guān)系在變化過(guò)程中也保持不變．
請(qǐng)你借助于小明的思考，說(shuō)明AD₁∥BC的理由；
問(wèn)題3：當(dāng)A₁、D兩點(diǎn)不重合時(shí)，若直線a、b間的距離為

5

cm，且以點(diǎn)A₁、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求AC的長(zhǎng)．

觀察與發(fā)現(xiàn)：
（1）小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開(kāi)紙片（如圖①）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）．你認(rèn)為△AEF是什么形狀的三角形？為什么？

實(shí)踐與運(yùn)用：
如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊：對(duì)折、展平，得折痕EF（如圖①）；沿GC折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如圖⑥）．
（2）在圖②中連接BB′，判斷△BCB′的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）圖⑥中的△GCC′是等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，OC=

2

，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D，E．
（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），求證：OD+OE=2．
（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)：
①在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．
②在圖3這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．

閱讀下面的材料：
小明在研究中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)：
如圖1，當(dāng)點(diǎn)A₁為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)，點(diǎn)P繞著點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₁點(diǎn)，點(diǎn)P₁再繞著點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₂點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)P₂重合．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)A₁、A₂為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)，點(diǎn)P繞著點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₁點(diǎn)，點(diǎn)P₁繞著點(diǎn)A₂旋轉(zhuǎn)180°得到P₂點(diǎn)，點(diǎn)P₂繞著點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₃點(diǎn)，點(diǎn)P₃繞著點(diǎn)A₂旋轉(zhuǎn)180°得到P₄點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)P、P₄兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P₂中心對(duì)稱(chēng)．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出點(diǎn)P₃、P₄，小明在證明P、P₄兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P₂中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，除了說(shuō)明P、P₂、P₄三點(diǎn)共線之外，還需證明；
（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)A₁（0，3）、A₂（-2，0）、A₂（2，0）為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)，點(diǎn)P（0，4）繞著點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°得到P₁點(diǎn)；點(diǎn)P₁繞著點(diǎn)A₂旋轉(zhuǎn)180°得到P₂點(diǎn)；點(diǎn)P₂繞著點(diǎn)A₃旋轉(zhuǎn)180°得到P₃點(diǎn)；點(diǎn)P₃繞著點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)p₄點(diǎn)…．繼續(xù)如此操作若干次得到點(diǎn)P₅、P₆、…，則點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為，點(diǎn)_P2017的坐標(biāo)為．

如圖①，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使A與C重合，這時(shí)DE為折底，△CBE為等腰三角形，再將紙片沿△CBE的對(duì)稱(chēng)軸EF折疊，這時(shí)得到一個(gè)折疊而成的無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，這個(gè)矩形稱(chēng)為“折得矩形”．
（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折成“折得矩形”嗎？，若能，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出折痕；
（2）如圖③，正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫(huà)出一個(gè)斜△ABC，使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且由△ABC折成的“折得矩形”為正方形；
（3）如果一個(gè)三角形折成的“折得矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是．
（4）若一個(gè)四邊形能折成“折得矩形”，那么它必須滿足的條件是．