（本題滿分8分）
如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點O．

(1)求證：AB＝DC；
(2)試判斷△OEF的形狀，并說明理由．

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且∠B = 60°．過點C作圓的切線l與直徑AD的延長線交于點E，AF⊥l，垂足為F，CG⊥AD，垂足為G．

（1）求證：△ACF≌△ACG；
（2）若AF = 4，求圖中陰影部分的面積．

為建設(shè)“宜居宜業(yè)宜游”山水園林式城市，內(nèi)江市正在對城區(qū)沱江河段進行區(qū)域性景觀打造.

如圖，某施工單位為測得某河段的寬度，測量員先在河對岸邊取一點再在河這邊沿河邊取兩點在點處測得點在北偏東方向上，在點處測得點在西北方向上，量得長為200米.請你求出該河段的寬度（結(jié)果保留根號）.

如圖，和都是等腰直角三角形，交于點分別交于點

試猜測線段和的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由.

如圖，Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC ¢交斜邊于點E，CC ¢的延長線交BB ¢于點F．

（1）證明：△ACE∽△FBE；
（2）設(shè)∠ABC=，∠CAC ¢ =，試探索、滿足什么關(guān)系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由．

如圖，在一次數(shù)學課外實踐活動中，要求測教學樓的高度AB．

小剛在D處用高1.5m的測角儀CD，測得教學樓頂端A的仰角為30°，然后向教學樓前進40m到達E，又測得教學樓頂端A的仰角為60°．求這幢教學樓的高度AB．

如圖是一個常見鐵夾的側(cè)面示意圖，OA，OB表示鐵夾的兩個面，C是軸，CD⊥OA于點D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，

我們知道鐵夾的側(cè)面是軸對稱圖形，請求出A、B兩點間的距離。

(本題6分)
如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點（不與B，C重合），F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE. 請你添加一個條件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它線段，不再標注或使用其他字母)，并給出證明．

（1）你添加的條件是： ▲ ；
（2）證明：

(本小題滿分9分)
已知：△ABC是任意三角形．
⑴如圖1所示，點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點．求證：∠MPN=∠A．
⑵如圖2所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P1、P2是邊BC的三等分點，你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確？請說明你的理由．
⑶如圖3所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點，則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．

（請直接將該小問的答案寫在橫線上．）

(本小題滿分7分)
⑴計算：+
⑵如圖所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，若AC=．

求線段AD的長．