已知：在四邊形ABCD中，AC = BD，AC與BD交于點(diǎn)O，∠DOC = 60°.

（1）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)（如圖1），證明AB + CD = AC；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是梯形時(shí)（如圖2），AB∥CD，線段AB、CD和線段AC之間的數(shù)量關(guān)系是_____________________________；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，結(jié)論AB + CD = AC是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

如圖，將一張矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)落在 邊上的點(diǎn)B處；沿BG折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)D處，且BD過(guò)F點(diǎn).

⑴試判斷四邊形BEFG的形狀，并證明你的結(jié)論.
⑵當(dāng)∠BFE為多少度時(shí)，四邊形BEFG是菱形.

如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8 cm , BD＝6  cm,  DH⊥AB于H，求：DH的長(zhǎng)

已知：在四邊形ABCD中，AC = BD，AC與BD交于點(diǎn)O，∠DOC = 60°.

（1）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)（如圖1），證明AB + CD = AC；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是梯形時(shí)（如圖2），AB∥CD，線段AB、CD和線段AC之間的數(shù)量關(guān)系是_____________________________；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，結(jié)論AB + CD = AC是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，過(guò)各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個(gè)四邊形EFGH.試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目：

（1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)EFGH是矩形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；
當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；
當(dāng)EFGH是正方形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________.
（2）請(qǐng)選擇（1）中任意一個(gè)你所寫的結(jié)論進(jìn)行證明.
（3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？

P、Q、R、S四個(gè)小球分別從正方形ABCD的四個(gè)定點(diǎn)A、B、C、D點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB、BC、CD、DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B、C、D、A。

（1）不管滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，求證：四邊形PQRS為正方形；
（2）連結(jié)對(duì)角線AC、BD、PR、SQ，你發(fā)現(xiàn)四條對(duì)角線有何關(guān)系？
（3）根據(jù)此圖，若有四個(gè)全等的直角三角形，你能否拼成一個(gè)正方形？若這個(gè)三角形直角邊為a、b，斜邊問(wèn)c，你能否根據(jù)面積推導(dǎo)出勾股定理？

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．
設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t＞0)．
        
（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）．
（2）當(dāng)BP = 1時(shí)，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．
（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會(huì)有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．    

如圖，梯形中，且，、分別是兩底的中點(diǎn)，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)。

工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行：
(1)先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料(如圖①)，使；
(2)擺放成如圖②的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是                形，根據(jù)數(shù)學(xué)道理是：
                                          ；
(3)將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角(如圖③)，調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)(如圖④)，說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是             形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是：                                                    。

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.
（1）求證：EF="FM"
（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．