科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（17）：29.5 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則=______

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在一次課題學(xué)習(xí)中活動中，老師提出了如下一個問題：
點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N，使點P是線段MN的三等分點，這樣的直線能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：
如圖1，過點P畫PE⊥AB于E，在EB上取點M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請說明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A₁，C₁分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點，且A₁C₁∥AD．當(dāng)點P在線段A₁C₁上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂都是所在邊的三等分點．當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．

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如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形．連接AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形．
（1）如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC=BD時，四邊形EFGH為菱形．
當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足______時，四邊形EFGH為矩形；
當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足______時，四邊形EFGH為正方形；
（2）探索三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，請寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明；
（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點四邊形EFGH的面積是多少？

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圖1是由五個邊長都是1的正方形紙片拼接而成的，過點A₁的直線分別與BC₁、BE交于點M、N，且圖1被直線MN分成面積相等的上、下兩部分．

（1）求的值；
（2）求MB、NB的長；
（3）將圖1沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒（圖2）后，求點M、N間的距離．

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如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E為CD的中點，EF∥AB交BC于點F
（1）求證：BF=AD+CF；
（2）當(dāng)AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC時，求EF的長．

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如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿B?A，B?C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

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如圖，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．EF與BD相交于點M．
（1）求證：△EDM∽△FBM；
（2）若DB=9，求BM．

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如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E為BC上一點，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的長．

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如圖所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，對角線AC與BD交于點O，AD=DC，AC=BD=AB．
（1）若∠ABD=a，求a的度數(shù)；
（2）求證：OB²=OD•BD．

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如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．動點P從D點出發(fā)沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發(fā)沿CB以每秒2個單位的速度向B點運動．兩點同時出發(fā)，當(dāng)P點到達C點時，Q點隨之停止運動．
（1）梯形ABCD的面積等于______；
（2）當(dāng)PQ∥AB時，P點離開D點的時間等于______秒；
（3）當(dāng)P，Q，C三點構(gòu)成直角三角形時，P點離開D點多少時間？