科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．
Ⅰ、證明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ、探究：怎樣在鐵片上準確地畫出正方形．
小聰和小明各給出了一種想法，請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答．如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分．
Ⅱa、小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了．
設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長．（結果用含根號的式子表示，不要求分母有理化）
Ⅱb、小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形．具體作法是：
①在AB邊上任取一點G′，如圖作正方形G′D′E′F′；
②連接BF′并延長交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．
你認為小明的作法正確嗎？說明理由．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關系為______，數(shù)量關系為______．
②當點D在線段BC的延長線時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．
試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C，F(xiàn)重合除外）畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=2，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n．
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；
（2）求m與n的函數(shù)關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD²+CE²=DE²；
（4）在旋轉過程中，（3）中的等量關系BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

已知：在菱形ABCD中，O是對角線BD上的一動點．
（1）如圖甲，P為線段BC上一點，連接PO并延長交AD于點Q，當O是BD的中點時，求證：OP=OQ；
（2）如圖乙，連接AO并延長，與DC交于點R，與BC的延長線交于點S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的長．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE．
（1）求證：∠CBE=36°；
（2）求證：AE²=AC•EC．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

如圖所示，在△ABC中，BC＞AC，點D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于點F．點E是AB的中點，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若△ABD的面積是6，求四邊形BDFE的面積．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

如圖，直角梯形OABC的直角頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．
（1）直接寫出D點的坐標；
（2）設OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關系；
（3）當△AEF是等腰三角形時，將△AEF沿EF折疊，得到△A'EF，求△A'EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（15）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

閱讀下列材料，按要求解答問題：
如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．小明通過以下計算：由題意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=b，得a²-b²=（b）²-b²=2b²=b•c．即a²-b²=bc．于是，小明猜測：對于任意的△ABC，當∠A=2∠B時，關系式a²-b²=bc都成立．
（1）如圖2，請你用以上小明的方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷小明的猜測是否正確，并寫出驗證過程；
（2）如圖3，你認為小明的猜想是否正確？若認為正確，請你證明；否則，請說明理由；
（3）若一個三角形的三邊長恰為三個連續(xù)偶數(shù)，且∠A=2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（16）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時針方向）．
（1）如圖1，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E．
①求證：△ABD∽△DCE；
②當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．
（2）①如圖2，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC的延長線相交于點E，是否存在點D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由；
②如圖3，若點D在BC的反向延長線上運動，是否存在點D，使△ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由．

科目： 來源：第29章《相似形》中考題集（16）：29.5 相似三角形的性質（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
（1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；
（3）試構造一個等腰梯形，該梯形連同它的兩條對角線，得到了8個三角形，要求構造出的圖形中有盡可能多的等腰三角形．（標明各角的度數(shù)）