某課題小組對課本的習(xí)題進行了如下探索，請逐步思考并解答：

(1)(人教版教材習(xí)題24.4的第2題)如下圖，兩個大小一樣的傳送輪連接著一條傳送帶，兩個傳動輪中心的距離是10 m，求這條傳送帶的長________．

(2)改變圖形的數(shù)量；

如下圖、將傳動輪增加到3個，每個傳動輪的直徑是3 m，每兩個傳動輪中心的距離是10 m，求這條傳送帶的長________．

(3)改變動態(tài)關(guān)系，將靜態(tài)問題升華為動態(tài)問題：

如下圖，一個半徑為1 cm的⊙P沿邊長為2πcm的等邊三角形△ABC的外沿作無滑動滾動一周，求圓心P經(jīng)過的路徑長？⊙P自轉(zhuǎn)了多少周？

(4)拓展與應(yīng)用

如下圖，一個半徑為1 cm的⊙P沿半徑為3 cm的⊙O外沿作無滑動滾動一周，則⊙P自轉(zhuǎn)了多少周？

如圖(1)，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．

(1)證明：B、C、E三點共線；

(2)若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN＝OM；

(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)后，記為△D₁CE₁(圖2)，若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，M₁N₁＝OM₁是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象經(jīng)過點C(0，1)，且與x軸交于不同的兩點A、B，點A的坐標是(1，0)

(1)求c的值；

(2)求a的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y＝1交于C、D兩點，設(shè)A、B、C、D四點構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當(dāng)0＜a＜1時，求證：S₁－S₂為常數(shù)，并求出該常數(shù)．

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，點A(10，0)和點B(2，2)，在線段OA上，點P從點O向點A運動，同時點Q從點A向點O運動，運動過程中保持AQ＝2OP，當(dāng)P、Q重合時同時停止運動，過點Q作x軸的垂線，交直線AB于點M，延長QM到點D，使MD＝MQ，以QD為對角線作正方形QCDE(正方形QCDE歲點Q運動)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)正方形QCDE的面積為S，P點坐標(m，0)求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)過點P作x軸的垂線，交拋物線于點N，延長PN到點G，使NG＝PN，以PG為對角線作正方形PFGH(正方形PFGH隨點P運動)，當(dāng)點P運動到點(2，0)時，如圖2，正方形PFGH的邊GP和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．

①則此時兩個正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少？

②若點P繼續(xù)向點A運動，還存在兩個正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請直接寫出每種情況下點P的坐標，不必說明理由．

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設(shè)銳角∠DOC＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O(0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°)連接A、B，A與B相交于點M．

(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想A與B的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC＝BD，請猜想此時A與B的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時(1)A與B的數(shù)量關(guān)系是否成立？∠AMB與α的大小關(guān)系是否成立？不必證明，直接寫出結(jié)論．

探究問題：

(1)方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．

∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°．

即∠GAF＝∠________．

又AG＝AE，AF＝AF

∴△GAF≌________．

∴________＝EF，故DE＋BF＝EF．

(2)方法遷移：

如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF＝∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF＝∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE＋BF＝EF．請直接寫出你的猜想(不必說明理由)．

如圖，在平面直角坐標系中，點A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB＝AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．

(1)當(dāng)∠AOB＝30°時，求弧AB的長度；

(2)當(dāng)DE＝8時，求線段EF的長；

(3)在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y＝ax²＋bx＋c(a＜0)過矩形頂點B、C．

(1)當(dāng)n＝1時，如果a＝－1，試求b的值；

(2)當(dāng)n＝2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；

(3)將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點O．

①試求當(dāng)n＝3時a的值；

②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式．

在平面直角坐標系XOY中，直線l₁過點A(1，0)且與y軸平行，直線l₂過點B(0，2)且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P．點E為直線l₂上一點，反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象過點E與直線l₁相交于點F．

(1)若點E與點P重合，求k的值；

(2)連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；

(3)是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系XOY中，一次函數(shù)y＝x＋3的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．直線l₂過點C(a，0)且與直線l1垂直，其中a＞0．點P、Q同時從A點出發(fā)，其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．

(1)寫出A點的坐標和AB的長；

(2)當(dāng)點P、Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時a的值．