如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．

（1）作出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A₁B₁C₁，并寫(xiě)出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫(huà)出△A₂B₂C₂，使＝，并寫(xiě)出點(diǎn)A₂的坐標(biāo)。

如圖，在□ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長(zhǎng)．

在□ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．
（1）試說(shuō)明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上，
且DM⊥DN，作MF⊥AB于點(diǎn)F，NE⊥AB于點(diǎn)E。
（1）特殊驗(yàn)證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點(diǎn)，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC。
①如圖2，若D為AB中點(diǎn)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立，請(qǐng)指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上”，其它條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明。

已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱（點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C），點(diǎn)E、F分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點(diǎn)G．
（1）如圖l，求證：∠EAF＝∠ABD；
（2）如圖2，當(dāng)AB＝AD時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM、ED、MF，MF的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，請(qǐng)你判斷線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的判斷是正確的．

數(shù)學(xué)課上，張老師出示圖1和下面的條件：如圖1，兩個(gè)等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，DE=2，AB=1．將直線EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交直線AD于點(diǎn)M．將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設(shè)C、E兩點(diǎn)間的距離為k．
解答問(wèn)題：
（1）①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為       ；
②在平移過(guò)程中，的值為           （用含k的代數(shù)式表示）；
（2）將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變．當(dāng)點(diǎn)A落在線段DF上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，計(jì)算的值；
（3）將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，0＜α≤90，原題中的其他條件保持不變．計(jì)算 的值（用含k的代數(shù)式表示）．

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，且DG平分△ABC的周長(zhǎng)，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c．
（1）求線段BG的長(zhǎng)；
（2）求證：DG平分∠EDF；
（3）連接CG，如圖2，若△GBD ∽△GDF，求證：BG⊥CG．

如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫(huà)一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s．
①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”．請(qǐng)直接寫(xiě)出tanβ的取值范圍．
（4）依據(jù)（3）的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）

如圖①，將一張矩形紙片對(duì)折，然后沿虛線剪切，得到兩個(gè)（不等邊）三角形紙片△ABC，△A₁B₁C₁．

（1）將△ABC，△A₁B₁C₁如圖②擺放，使點(diǎn)A₁與B重合，點(diǎn)B₁在AC邊的延長(zhǎng)線上，連接CC₁交BB₁于點(diǎn)E．
①求證：四邊形C₁B₁AB為梯形.
②若∠A="45°," ∠ABC="30°," 求∠B₁C₁C的度數(shù)   
（2）若將△ABC，△A₁B₁C₁如圖③擺放，使點(diǎn)B₁與B重合，點(diǎn)A₁在AC邊的延長(zhǎng)線上，連接CC₁交A₁B于點(diǎn)F．試判斷∠A₁C₁C與∠A₁BC是否相等，并說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若AC＝3，B₁C₁＝6，設(shè)A₁B＝x，C₁F＝y(tǒng)，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）

如圖， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE.
（1）求證：DE與⊙O 相切.
（2）若tanC=，DE=2，求AD的長(zhǎng)．