問(wèn)題背景

在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)如下問(wèn)題情境，寫(xiě)出兩個(gè)教學(xué)結(jié)論：

如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上．∠ACB＝∠ACD＝90°，AC＝BC；DC＝CE，M，N分別是線(xiàn)段BE，AD上的點(diǎn)．

“興趣小組”寫(xiě)出的兩個(gè)教學(xué)結(jié)論是：①△BCE≌△ACD；②當(dāng)CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線(xiàn)時(shí)，△MCN是等腰直角三角形．

解決問(wèn)題

（1）請(qǐng)你結(jié)合圖（1）．證明“興趣小組”所寫(xiě)的兩個(gè)結(jié)論的正確性．

類(lèi)比探究

受到“興趣小組”的啟發(fā)，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們寫(xiě)出如下結(jié)論：如圖（2），當(dāng)∠BCM＝∠ACN時(shí)，△MCN是等腰直角三角形．

（2）“實(shí)踐小組”所寫(xiě)的結(jié)論是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．

感悟發(fā)現(xiàn)

“奮進(jìn)小組”認(rèn)為：當(dāng)點(diǎn)M，N分別是BE，AD的三等分點(diǎn)時(shí)，△MCN仍然是等腰直角三角形請(qǐng)你思考：

（3）“奮進(jìn)小組”所提結(jié)論是否正確？答：　 　（填“正確”、“不正確”或“不一定正確”．）

（4）反思上面的探究過(guò)程，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)臈l作，再寫(xiě)出使得△MCN是等腰直角三角形的數(shù)學(xué)結(jié)論．（所寫(xiě)結(jié)論必須正確，寫(xiě)出1個(gè)即可，不要求證明）

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)、，且、兩點(diǎn)之間的距離等于（為大于0的已知數(shù)），在不計(jì)算的數(shù)值條件下，完成下列兩題：

（1）以學(xué)過(guò)的知識(shí)用一句話(huà)說(shuō)出的理由；

（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形，如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【題目】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC，AB邊于E，F點(diǎn)若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為　　

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【題目】結(jié)合“愛(ài)市西，愛(ài)生活，會(huì)創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探測(cè)燈”，增加美觀(guān)的同時(shí)也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈射線(xiàn)從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線(xiàn)從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：______；

（2）若燈射線(xiàn)先轉(zhuǎn)動(dòng)60秒，燈射線(xiàn)才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線(xiàn)到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線(xiàn)到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄?/span>與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）求兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少千克化工原料？

（2）若A型機(jī)器人工作1小時(shí)所需的費(fèi)用為80元，B型機(jī)器人工作1小時(shí)所需的費(fèi)用為60元，若該工廠(chǎng)在兩種機(jī)器人中選擇其中的一種機(jī)器人單獨(dú)完成搬運(yùn)任務(wù)，則選擇哪種機(jī)器人所需費(fèi)用較小？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．

（1）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)AB的平行線(xiàn)；

（2）過(guò)點(diǎn)B畫(huà)AC的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)G；過(guò)點(diǎn)B畫(huà)AB的垂線(xiàn)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．

（3）點(diǎn)B到AC的距離是線(xiàn)段 的長(zhǎng)度，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離．

（4）線(xiàn)段BG、AB的大小關(guān)系為：BG AB（填“＞”、“＜”或“=”），理由是 .

最短路徑問(wèn)題:如圖（1），點(diǎn)A，B分別是直線(xiàn)l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線(xiàn)l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線(xiàn)l相交于一點(diǎn)，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求．

如圖（2），如果點(diǎn)A，B分別是直線(xiàn)l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離和最短？我們可以利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，作出點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，這時(shí)對(duì)于直線(xiàn)l上的任一點(diǎn)C，都保持CB＝CB，從而把問(wèn)題（2）變?yōu)閱?wèn)題（1）．因此，線(xiàn)段AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)C的位置即為所求．

為了說(shuō)明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線(xiàn)上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′．因?yàn)?/span>AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最�。�

任務(wù)：

數(shù)學(xué)思考

（1）材料中劃線(xiàn)部分的依據(jù)是　 　．

（2）材料中解決圖（2）所示問(wèn)題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是　 　．（填字母代號(hào)即可）

A．轉(zhuǎn)化思想

B．分類(lèi)討論思想

C．整體思想

遷移應(yīng)用

（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點(diǎn)P為C邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為　 　cm．

【題目】如圖，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在菱形ABCD的邊AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，若 =2，則 的值為（ ）

A.
B.
C.
D.

【題目】如圖，已知矩形ABCD，把矩形沿直線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE、BE，若△ABE是等邊三角形，則 = ．

【題目】如圖，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC為直徑作半圓，圓心為O．以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作弧AB，過(guò)點(diǎn)O作AC的平行線(xiàn)交兩弧于點(diǎn)D、E，則陰影部分的面積是 ．