觀察下列各等式：，，，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：=（    ）（n為正整數(shù)）。

觀察下列等式：2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64…，通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定2²⁰⁰⁶的個(gè)位數(shù)字是

觀察：
1³+2³=9=×2²×3²
1³+2³+3³=36=×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=×4²×5²
…，
①若n為正整數(shù)，猜想1³+2³+3³+…+n³=_______；
②利用上題的結(jié)論來比較1³+2³+3³+…+100³與（-5000）²的大小。

（1）判斷下列各式是否成立，你認(rèn)為成立的請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“√”，不成立的打“×”。
①（    ）；②（     ）；
③（    ）；④（    ）；
（2）你判斷完以上各題之后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用含有n的式子將規(guī)律表示出來，并注明n的取值范圍；
（3）請(qǐng)用數(shù)學(xué)知識(shí)說明你所寫式子的正確性。

如圖，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁得∠A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，得∠A₂，……，∠A₂₀₀₈BC的平分線與∠A₂₀₀₈CD的平分線交于點(diǎn)A₂₀₀₉，得∠A₂₀₀₉，則∠A₂₀₀₉=（    ）。

數(shù)學(xué)的美無處不在，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧，例如，三根弦長度之比是15∶12∶10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲do、mi、so，研究15、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：，我們稱15、12、10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù)，現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x、5、3（x>5），則x的值是（    ）。

已知方程的解是x₁=2，x₂=-；的解是x₁=3，x₂=；的解是x₁=4，x₂=；的解是x₁=5，x₂=；
問題：（1）寫出x-的解，并驗(yàn)證是否正確；
（2）觀察上述方程及其解，再猜想（n為正數(shù)）的解，并加以證明。

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說：將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得一個(gè)直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦等于五，后人概括為“勾三、股四、弦五”。
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，計(jì)算，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，用n（n為奇數(shù)且n≥3）的式子來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，猜想它們之間兩種相等關(guān)系并對(duì)其中一種猜想加以證明；
（3）繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過，運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)且m≥4）的式子來表示它們的股和弦。

如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A₁B₁C₁D₁；把正方形A₁B₁C₁D₁邊長按原法延長一倍得到正方形A₂B₂C₂D₂（如圖（2））；以此下去···，則正方形A₄B₄C₄D₄的面積為（    ）。

規(guī)律與探究：
（1）觀察下列各組數(shù)據(jù)并填空：
A：1，2，3，4，5 =________；
B：11，12 ，13 ，14 ，15  =________；
C：10，20，30，40，50 ________；
D：3，5，7，9，11 ________；
（2）分別比較A與B、C、D的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（3）若已知一組數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃，…，x_n的平均數(shù)為，那么3x₁+4，3x₂+4，3x₃+4，…，3x_n+4的平均數(shù)為_______。