探索：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1；
（1）試求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
（2） 2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+...+2²+2+1的值的個位數(shù)是幾？

觀察下列方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，……，按此規(guī)律寫出關(guān)于x的第n個方程為（    ），第n個方程的解為（    ）。

觀察一列數(shù)表：根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第n行與n列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為（    ）。（用含有正整數(shù)n的代數(shù)式表示）

有一種運算程序，可以使ab=n（n為常數(shù)）時，得（a+1）b=n+1，a（b+1）=n-2，現(xiàn)在已知11=2，那么20092009=（    ）。

探索一個問題：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）
（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學(xué)是這樣研究的：
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：，消去y化簡得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48>0，∴x₁=（    ），x₂=（    ），∴滿足要求的矩形B存在；
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？
（4）附加題、如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結(jié)合剛才的研究，回答下列問題：
① 這個圖象所研究的矩形A的兩邊長為______和______；
②滿足條件的矩形B的兩邊長為______和______。

閱讀探索：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，使它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）
（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學(xué)是這樣研究的：
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：，消去y化簡得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48>0，∴x₁=_____，x₂=_____，∴滿足要求的矩形B存在；
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？

下面兩個多位數(shù)1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位，對第2位數(shù)字再進行如上操作得到第3位數(shù)字，……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進行如上操作得到的，當(dāng)?shù)?位數(shù)字是4時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是

如圖所示，直線y=x+1與y軸交于點A₁，以O(shè)A₁為邊作正方形OA₁B₁C₁然后延長C₁B₁與直線y=x+1交于點A₂，得到第一個梯形A₁OC₁A₂；再以C₁A₂為邊作正方形C₁A₂B₂C₂，同樣延長C₂B₂與直線y=x+1交于點A₃得到第二個梯形A₂C₁C₂A₃；再以C₂A₃為邊作正方形C₂A₃B₃C₃，延長C₃B₃，得到第三個梯形；…則第2個梯形A₂C₁C₂A₃的面積是（    ）；第n（n是正整數(shù)）個梯形的面積是（    ）（用含n的式子表示）。

下面兩個多位數(shù)1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位；對第2位數(shù)字再進行如上操作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進行如上操作得到的；當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是（    ）。

如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A₁B₁C₁D₁；把正方形A₁B₁C₁D₁邊長按原法延長一倍得到正方形A₂B₂C₂D₂（如圖（2））；以此下去···，則正方形A₄B₄C₄D₄的面積為（    ）。