探索與研究：
原題再現(xiàn)：如圖，圓柱形木塊的高為8，底面半徑為2，下底面A點(diǎn)處有一螞蟻，想吃到上底面相對的B點(diǎn)處的食物，需沿圓柱表面爬行的最短路程是多少？（原題不須解答．以下π均取近似值3）
（1）思考：沿圓柱表面爬行一定是沿側(cè)面爬行嗎？若沿A→C→B爬行，則路程是；
（2）繼續(xù)思考：是否一定是沿側(cè)面爬行的路徑最短呢？若圓柱的高為5，底面半徑為4，試通過計(jì)算比較沿側(cè)面爬行路程，l₁與沿A→C→B爬行路程l₂的長短；
（3）深入思考：若設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，試研究r與h的關(guān)系對兩種路徑長短的影響．

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AD→DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA向A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)即結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）梯形ABCD的面積是．
（2）若四邊形PQBC恰好是直角梯形，求此時(shí)t的值．

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且AD=BD．
（1）求證：∠ADB=∠BAC；
（2）若△ACD也是等腰三角形，求∠B的度數(shù)．

我國古籍《周髀算經(jīng)》中早有記載“勾三股四弦五”，下面我們來探究兩類特殊的勾股數(shù)．
（1）通過觀察完成下面兩個(gè)表格中的空格（以下a、b、c為Rt△ABC的三邊，且a＜b＜c）：

（2）我們發(fā)現(xiàn)，表一中a為大于l的奇數(shù)，此時(shí)b、c的數(shù)量關(guān)系是；表二中a為大于4的偶數(shù)，此時(shí)b、c的數(shù)量關(guān)系是；
（3）一般地，對于表一，用含a的代數(shù)式表示b=；對于表二，用含a的代數(shù)式表示b=；
（4）我們還發(fā)現(xiàn)，表一中的三邊長“3，4，5”與表二中的“6，8，10”成倍數(shù)關(guān)系，表一中的“5，l2，13”與表二中的“10，24，26”恰好也成倍數(shù)關(guān)系…．請直接利用這一規(guī)律計(jì)算：在Rt△ABC中，當(dāng)a=

3

5

，b=

4

5

時(shí)，斜邊c的值．

如圖，在?ABCD中，E、F是對角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF．試猜想并證明AE與CF的關(guān)系．

如圖，將一條寬DE=4的長方形紙片按任意線段AB折疊，使紙片的一邊BE折疊后與另一邊AF交于點(diǎn)C．
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）試探索：△ABC能否是等腰直角三角形？若能，求出折痕AB的長；若不能，說明理由．

唐代詩人王之渙說“欲窮千里目，更上一層樓”，下面我們利用數(shù)學(xué)知識計(jì)算，到底要登上多少層樓才能“窮千里目”．如圖，圓弧代表地球剖面的一部分，圓心為O，AB為直立于地面的某高層建筑，AC為站在樓頂處的視線，與地球半徑OB、OC構(gòu)成了Rt△AOC．設(shè)AC=500km（即1000里），取地球半徑為6400km，樓AB每層高約3.2m．求樓AB至少要多少層才能“窮千里目”？（參考數(shù)據(jù)：64.2²≈4121）

我們知道，小學(xué)對菱形的認(rèn)識是：四條邊都相等的四邊形．到了初中，對菱形的定義是：有一組鄰邊相等的平行四邊形，請你利用初中的定義來說明小學(xué)認(rèn)識的合理性．先補(bǔ)全題目，再完成證明：
如圖，在?ABCD中，已知，
求證：．

如圖，八年級（上）教材第57頁利用構(gòu)造直角三角形和畫弧的方法在數(shù)軸上找到了表示

2

的點(diǎn)A．試?yán)�用這個(gè)方法，在數(shù)軸上找出表示-

13

的點(diǎn)B．（保留畫圖痕跡）

解下列方程
（1）x³-8=0；    
（2）2（x²+1）=10．