Question

（2013?海淀區(qū)二模）如圖所示電路中，電源兩端電壓保持不變，滑動(dòng)變阻器的最大阻值為R．當(dāng)開(kāi)關(guān)S、S₁閉合，S₂斷開(kāi)，滑動(dòng)變阻器的滑片P移到A端時(shí)，電阻R₂的電功率為P₂，電流表的示數(shù)為I₁；當(dāng)開(kāi)關(guān)S、S₂閉合，S₁斷開(kāi)時(shí)（滑片P位置不變），電阻R₂的電功率為P₂'，電流表的示數(shù)為I₂，且P₂：P₂'=16：25；當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合，S₁和S₂都斷開(kāi)，滑動(dòng)變阻器的滑片P移到某點(diǎn)C（圖中未畫(huà)出）時(shí)，滑動(dòng)變阻器接入電路的電阻為R_C，電壓表V₁的示數(shù)為U₁，電壓表V₂的示數(shù)為U₂，已知U₁：U₂=1：2，這時(shí)R₂的電功率為9W，R_C的電功率為3W．
（1）求I₁與I₂的比值；
（2）求R_A與R_C的比值；
（3）若通過(guò)閉合或斷開(kāi)開(kāi)關(guān)及移動(dòng)滑動(dòng)變阻器的滑片P，使電路的電功率達(dá)到最大，求此時(shí)的電功率P_m．

Answer 1

分析：先畫(huà)出三種情況的等效電路圖：
（1）根據(jù)P=I²R分別表示出圖1和圖2中電阻R₂的電功率，結(jié)合功率之比即可求出兩電路的電流關(guān)系；
（2）根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)和歐姆定律表示出圖1和圖2中電源的電壓，利用電源的電壓不變和電流關(guān)系得出電阻之間的關(guān)系，根據(jù)串聯(lián)電路的電流特點(diǎn)和歐姆定律表示出圖3中兩電壓表的示數(shù)，利用示數(shù)關(guān)系求出電阻之間的關(guān)系，再根據(jù)P=I²R表示出R₂和R_C消耗的電功率即可求出兩電阻的阻值關(guān)系，聯(lián)立以上等式即可求出電阻之間的關(guān)系；
（3）根據(jù)P=

U2

R

可知，當(dāng)開(kāi)關(guān)S、S₁、S₂都閉合時(shí)，電路中的總電阻最小，電路的電功率最大，根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)和歐姆定律表示出圖3、圖4中電源的電壓結(jié)合電阻關(guān)系求出電流關(guān)系，根據(jù)P=I²R表示出圖4中的總功率結(jié)合電流關(guān)系和電阻關(guān)系即可求出此時(shí)的電功率P_m．

解答：解：當(dāng)開(kāi)關(guān)S、S₁閉合，S₂斷開(kāi)，滑動(dòng)變阻器的滑片P移到A端時(shí)，等效電路圖如圖1所示；
當(dāng)開(kāi)關(guān)S、S₂閉合，S₁斷開(kāi)時(shí)（滑片P位置不變），等效電路圖如圖2所示；
當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合，S₁和S₂都斷開(kāi)，滑動(dòng)變阻器的滑片P移到某點(diǎn)C時(shí)，等效電路圖如圖3所示．

（1）圖甲和圖乙中，
∵P=I²R，
∴

P2

P′2

=

I21R2

I22R2

=（

I1

I2

）²=

16

25

，
解得：

I1

I2

=

4

5

；
（2）∵電源的電壓不變，
∴

I1

I2

=

R1+R2

RA+R2

=

4

5

，
整理可得：5R₁+R₂=4R_A----------------①
圖3中，
∵串聯(lián)電路中各處的電流相等，且I=

U

R

，
∴

U1

U2

=

I3(R1+RC)

I3(RC+R2)

=

R1+RC

RC+R2

=

1

2

，
整理可得：2R₁+R_C=R₂----------------②
∵P=I²R，
∴

PR2

PRC

=

I23R2

I23RC

=

R2

RC

=

9W

3W

=

3

1

---------③
由①②③可得：R₂=3R_C，R₁=R_C，

RA

RC

=

2

1

；
（3）由于電源的電壓一定，當(dāng)開(kāi)關(guān)S、S₁、S₂都閉合時(shí)，電路中的總電阻最小，根據(jù)P=

U2

R

可知電路的電功率最大，
此時(shí)等效電路圖如下圖所示：

圖3和圖4中，
∵電源的電壓不變，
∴

I4

I3

=

R1+RC+R2

R2

=

RC+RC+3RC

3RC

=

5

3

，
圖4中，
P_max=I₄²R₂=（

5

3

I₃）²R₂=

25

9

I₃²R₂=

25

9

×P_R2=

25

9

×9W=25W．
答：（1）I₁與I₂的比值為4：5；
（2）R_A與R_C的比值為2：1；
（3）通過(guò)閉合或斷開(kāi)開(kāi)關(guān)及移動(dòng)滑動(dòng)變阻器的滑片P，使電路的電功率達(dá)到最大，此時(shí)的電功率為25W．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)串聯(lián)電路特點(diǎn)和歐姆定律、電功率的綜合計(jì)算題目，在解題過(guò)程中，注意電路的分析，根據(jù)已知條件分析出各種情況下的等效電路圖，同時(shí)要注意在串聯(lián)電路中各物理量之間的關(guān)系，結(jié)合題目中給出的已知條件進(jìn)行解決．