Question

千年疑案再探2000多年前阿基米德巧斷皇冠案至今仍為人津津樂道，但是小明學(xué)過(guò)密度知識(shí)以后，經(jīng)過(guò)探究，作出如下陳述．
（一）情景再現(xiàn)
2000多年前，敘拉古的國(guó)王命令一個(gè)工匠替他打造一頂皇冠．國(guó)王給了工匠他所需要的數(shù)量的黃金．工匠的手藝非常高明，制做的皇冠精巧別致，而且質(zhì)量跟當(dāng)初國(guó)王所給的黃金一樣大．可是，有人向國(guó)王報(bào)告說(shuō)：“工匠制造皇冠時(shí)，私下吞沒了一部分黃金，把同樣重的銀子摻了進(jìn)去．”國(guó)王聽后，也懷疑起來(lái)，就把阿基米德找來(lái)，讓他想法判定一下．
阿基米德對(duì)國(guó)王說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)试S我先做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，才能把結(jié)果報(bào)告給你．”國(guó)王同意了．阿基米德把金王冠放入一個(gè)盛滿水的桶中，測(cè)出溢出水的體積．然后把等質(zhì)量的純金也放入這個(gè)盛滿水的桶中，測(cè)出溢出水的體積．發(fā)現(xiàn)前者大于后者，說(shuō)明皇冠的密度比金塊的密度小，這就證明皇冠不是用純金制造的．”阿基米德有條理的講述，使國(guó)王信服了．于是國(guó)王將那個(gè)工匠抓拿歸案．
（二）收集證據(jù)并作如下假設(shè)：皇冠總質(zhì)量為1000g，金匠摻了300g的銀（因?yàn)槿绻�超過(guò)這個(gè)比例，皇冠的顏色會(huì)有明顯變化），阿基米德用的桶橫截面積為400cm²．已知ρ_金=19.3g/cm³，ρ_銀=10.6g/cm³．
疑點(diǎn)一：計(jì)算1000g純金的體積是多少？摻了300g銀的皇冠體積是多少？?jī)烧呓�沒在桶中使水面上升的高度相差多少？
疑點(diǎn)二：假如純金皇冠體積與摻了300g銀的皇冠體積相等，則空心部分體積是多少？
（三）總結(jié)陳詞：根據(jù)疑點(diǎn)一計(jì)算的高度相差值非常

小

（填“小”或“大”），難以精確測(cè)量，另外還要考慮液體表面張力、人為因素等造成的誤差，所以懷疑阿基米德的實(shí)驗(yàn)的可靠性，根據(jù)疑點(diǎn)二如果匠人在制作的時(shí)候有意或無(wú)意的制作一些空心部分，則肯定會(huì)因此而有滅頂之災(zāi)．所以認(rèn)為匠人有罪的證據(jù)不足，應(yīng)予以重新測(cè)量．
㈣如果皇冠（直徑約20cm）是實(shí)心的，利用托盤天平1（稱量500g）、托盤天平2（稱量2000g）、量筒1（250ml最小分度值20ml）、量筒2（100ml最小分度值1ml）、大容器（直徑25cm）、滴管等實(shí)驗(yàn)器材測(cè)量皇冠的密度．
選擇器材：

托盤天平2

、

量筒2

、大容器（直徑25cm）、滴管等
實(shí)驗(yàn)步驟（可以配圖說(shuō)明）：
最后表達(dá)式：ρ_皇冠=

ρ=

m

V2-V1

影響實(shí)驗(yàn)精確的因素有：

細(xì)線的粗細(xì)

（寫出一點(diǎn)即可）
（五）請(qǐng)你對(duì)這次《千年疑案再探》談?wù)勀愕南敕ǎ?BR>1．對(duì)于小明所提出的兩個(gè)疑點(diǎn)，你的想法是

這種方法不是很精確

．
2．對(duì)于小明的這種質(zhì)疑精神，你的想法是

積極鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給出的皇冠的質(zhì)量是1000g和金的密度，利用V=

m

ρ

可求出1000g純金的體積；
求出300g白銀的體積加上700g金的體積即為摻了300g銀的皇冠體積；
摻了白銀的皇冠體積減去純金的皇冠體積，再除以阿基米德用的桶橫截面積，即為兩者浸沒在桶中使水面上升的高度差．
（2）摻了白銀的皇冠體積減去純金的皇冠體積，即為空心部分體積：
（3）根據(jù)疑點(diǎn)一計(jì)算的高度相差值（0.0319cm）來(lái)作答；
（4）要測(cè)物體的密度，首先要測(cè)質(zhì)量和體積，根據(jù)題中提供的托盤天平的最大稱量范圍和量筒的量程來(lái)選擇；
實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是測(cè)出皇冠的體積，可用細(xì)線把它捆在一起浸入水中，該實(shí)驗(yàn)還需要的輔助器材有細(xì)線．
用排水法測(cè)體積．液體表面張力、人為因素等造成的誤差，讀取體積時(shí)有可能出現(xiàn)誤差．
（5）一個(gè)定理或公式的確定，是科學(xué)家經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的實(shí)驗(yàn)總結(jié)得出，因此對(duì)于這個(gè)《千年疑案再探》，僅憑一次實(shí)驗(yàn)是不能作出結(jié)論的，而且在實(shí)驗(yàn)中要考慮多方面要考慮多方面造成的誤差，不過(guò)對(duì)小明這種勇于探索的精神應(yīng)給予肯定．言之有理即可．

解答：解：（一）V=

m

ρ

=

1000g

19.3g/cm3

=51.81cm³，
300g白銀的體積為：V₁=

m白銀

ρ白銀

=

300g

10.6g/cm3

=28.30cm³，
金的體積為V₂=

m金

ρ金

=

1000g-300g

19.3g/cm3

=36.27cm³，
摻了300g銀的皇冠體積為V'=V₁+V₂=28.30cm³+36.27cm³=64.57cm³，
兩者浸沒在桶中使水面上升的高度差h=

V′-V

s

=

64.57cm3-51.81cm3

400cm2

=0.0319cm．
答：1000g純金的體積是51.81cm³．摻了300g銀的皇冠體積為64.57cm³．兩者浸沒在桶中使水面上升的高度相差0.0319cm．
（二）V-V'=64.57cm³-51.81cm³=12.76cm³．
答：空心部分體積是12.76cm³．
（三）由計(jì)算的高度相差值為0.0319cm．可知高度相差值非常小
（四）要測(cè)物體的密度，首先要選擇測(cè)物體的質(zhì)量的儀器：托盤天平，測(cè)物體體積的儀器量筒，由皇冠的質(zhì)量和體積可知，選擇托盤天平2和量筒2．
實(shí)驗(yàn)步驟：
（1）用天平稱出皇冠的質(zhì)量m；
（2）將量筒內(nèi)裝入一定體積的水，記下水位位置的讀數(shù)V₁；
（3）把皇冠用細(xì)線栓在一起，放入量筒內(nèi)，讓皇冠全部浸入水中，再記下水面的位置的讀數(shù)V₂；
（5）皇冠的密度表達(dá)式 ρ=

m

V

=

m

V2-V1

．
故答案為：托盤天平2；  量筒2；ρ=

m

V2-V1

．
影響實(shí)驗(yàn)精確的因素很多，例細(xì)線要盡量細(xì)，從而減小體積測(cè)量的誤差．
（五）對(duì)于小明所提出的兩個(gè)疑點(diǎn)，他的這種方法不是很精確．不過(guò)對(duì)于小明的這種質(zhì)疑精神，應(yīng)積極鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)．
故答案為：這種方法不是很精確；積極鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了空心、混合物的密度計(jì)算，同時(shí)還考查了測(cè)量密度實(shí)驗(yàn)，排水法測(cè)體積是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，本題重現(xiàn)排水法的歷史淵源，并強(qiáng)化測(cè)固體密度的基本方法，學(xué)習(xí)中不僅要掌握測(cè)固體密度的基本方法：用天平測(cè)質(zhì)量，根據(jù)排水法用量筒測(cè)密度，用ρ=

m

V

計(jì)算密度，還要掌握用數(shù)學(xué)公式、排油法、排沙法等測(cè)固體體積．是一道好題！