Question

1．如圖所示，一杯子底部是邊長2L的正方形，壁很薄很高，從上往下依次有密度為ρ，4ρ高各為L的兩種液體．現(xiàn)放入一密度為1.5ρ，高4L，底面積為2L²的長方體物塊，物塊不碰側壁也不傾斜（大氣壓強為ρ₀），當物塊在液體中靜止時，求
（1）此時上層液體的高度變?yōu)槎嗌伲?br />（2）此時物塊底部與杯底距離為多少？
（3）此時下層液體對其中一個側壁的壓力為多少？

Answer 1

分析 （1）由于液體的密度小于長方體物塊的密度，則物塊一定會浸入到上層液體的下面，所以據(jù)此即可判斷上層液體的高度；
（2）利用漂浮條件和阿基米德原理即可求出物塊浸入到下層液體的深度，然后根據(jù)物塊浸沒的深度求出物塊底部與杯底距離；
（3）利用p=ρgh分別求出下層液體對一個側壁產(chǎn)生的平均壓強，利用F=pS即可求出壓力．

解答 解：（1）已知液體的密度為ρ，長方體物塊的密度為1.5ρ，則液體的密度小于長方體物塊的密度，根據(jù)物體的浮沉條件可知：物塊一定會浸入到上層液體的下面；
由于上、下層液體的體積都為V=SL=2L×2L×L=4L³，物塊的體積為V_物=S_物4L=2L²×4L=8L³，
而容器的底面積S_容=2L×2L=4L²，
所以當物塊沉在底部時，液體升高的高度才與物塊的高度相平，所以，物塊不會浸沒在上層液體中，
一定是物塊會露出上層液體，但也浸入到下層液體中一部分，
由于容器的底面積S_容=2S_物，所以上層液體的高度變?yōu)?L；
（2）物塊的重力為：G_物=ρ_物gV_物=ρ_物gS_物×4L=1.5ρg×2L²×4L=12ρgL³，
由于物塊會露出上層液體，但也浸入到下層液體中一部分，設浸入下層液體中的物塊部分高度為L′，
則：物塊受到的浮力F_浮=ρ_上液gV_排上液+ρ_下液gV_排下液=ρ_上液gS_容×2L+ρ_下液gS_容×L′=ρg×4L²×2L+4ρg×4L²×L′=8ρgL³+16ρgL²×L′，
根據(jù)漂浮條件可知：F_浮=G_物，
即：8ρgL³+16ρgL²×L′=12ρgL³，
所以，L′=$\frac{1}{4}$L，
由于容器的底面積S_容=2S_物，所以下層液體的高度升高的高度為△h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{8}$L，所以下層液體此時實際高度為L+=$\frac{1}{8}$L=1$\frac{1}{8}$L；
則物塊底部與杯底距離h=1$\frac{1}{8}$L-$\frac{1}{4}$L=$\frac{7}{8}$L；
（3）下層液體對一個側壁產(chǎn)生的平均壓強為：
p′=ρ_上液g×2L+ρ_下液g×$\frac{1}{2}$×1$\frac{1}{8}$L=ρg×2L+4ρg×$\frac{1}{2}$×1$\frac{1}{8}$L=4.25ρgL，
下層液體與一個側壁的面積為S′=2L×$1\frac{1}{8}$L=2.25L²；
所以壓力F=p′S′=4.25ρgL×2.25L²=9.5625ρgL³．
答：（1）此時上層液體的高度變?yōu)?L；
（2）此時物塊底部與杯底距離為$\frac{7}{8}$L；
（3）此時下層液體對其中一個側壁的壓力為9.5625ρgL³．

點評 本題考查物體浮沉條件和阿基米德原理的應用，難點是物塊浸在液體中時物塊排開的液體升高的高度變化判斷．注意計算下層液體對其中一個側壁的壓力時需要利用層液體對一個側壁產(chǎn)生的平均壓強來計算．