Question

1．如圖所示，一杯子底部是邊長2L的正方形，壁很薄很高，從上往下依次有密度為ρ，4ρ高各為L的兩種液體．現(xiàn)放入一密度為1.5ρ，高4L，底面積為2L²的長方體物塊，物塊不碰側(cè)壁也不傾斜（大氣壓強為ρ₀），當物塊在液體中靜止時，求
（1）此時上層液體的高度變?yōu)槎嗌伲?br />（2）此時物塊底部與杯底距離為多少？
（3）此時下層液體對其中一個側(cè)壁的壓力為多少？

Answer 1

分析 （1）由于液體的密度小于長方體物塊的密度，則物塊一定會浸入到上層液體的下面，所以據(jù)此即可判斷上層液體的高度；
（2）利用漂浮條件和阿基米德原理即可求出物塊浸入到下層液體的深度，然后根據(jù)物塊浸沒的深度求出物塊底部與杯底距離；
（3）利用p=ρgh分別求出下層液體對一個側(cè)壁產(chǎn)生的平均壓強，利用F=pS即可求出壓力．

解答 解：（1）已知液體的密度為ρ，長方體物塊的密度為1.5ρ，則液體的密度小于長方體物塊的密度，根據(jù)物體的浮沉條件可知：物塊一定會浸入到上層液體的下面；
由于上、下層液體的體積都為V=SL=2L×2L×L=4L³，物塊的體積為V_物=S_物4L=2L²×4L=8L³，
而容器的底面積S_容=2L×2L=4L²，
所以當物塊沉在底部時，液體升高的高度才與物塊的高度相平，所以，物塊不會浸沒在上層液體中，
一定是物塊會露出上層液體，但也浸入到下層液體中一部分，
由于容器的底面積S_容=2S_物，所以上層液體的高度變?yōu)?L；
（2）物塊的重力為：G_物=ρ_物gV_物=ρ_物gS_物×4L=1.5ρg×2L²×4L=12ρgL³，
由于物塊會露出上層液體，但也浸入到下層液體中一部分，設(shè)浸入下層液體中的物塊部分高度為L′，
則：物塊受到的浮力F_浮=ρ_上液gV_排上液+ρ_下液gV_排下液=ρ_上液gS_容×2L+ρ_下液gS_容×L′=ρg×4L²×2L+4ρg×4L²×L′=8ρgL³+16ρgL²×L′，
根據(jù)漂浮條件可知：F_浮=G_物，
即：8ρgL³+16ρgL²×L′=12ρgL³，
所以，L′=$\frac{1}{4}$L，
由于容器的底面積S_容=2S_物，所以下層液體的高度升高的高度為△h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{8}$L，所以下層液體此時實際高度為L+=$\frac{1}{8}$L=1$\frac{1}{8}$L；
則物塊底部與杯底距離h=1$\frac{1}{8}$L-$\frac{1}{4}$L=$\frac{7}{8}$L；
（3）下層液體對一個側(cè)壁產(chǎn)生的平均壓強為：
p′=ρ_上液g×2L+ρ_下液g×$\frac{1}{2}$×1$\frac{1}{8}$L=ρg×2L+4ρg×$\frac{1}{2}$×1$\frac{1}{8}$L=4.25ρgL，
下層液體與一個側(cè)壁的面積為S′=2L×$1\frac{1}{8}$L=2.25L²；
所以壓力F=p′S′=4.25ρgL×2.25L²=9.5625ρgL³．
答：（1）此時上層液體的高度變?yōu)?L；
（2）此時物塊底部與杯底距離為$\frac{7}{8}$L；
（3）此時下層液體對其中一個側(cè)壁的壓力為9.5625ρgL³．

點評 本題考查物體浮沉條件和阿基米德原理的應(yīng)用，難點是物塊浸在液體中時物塊排開的液體升高的高度變化判斷．注意計算下層液體對其中一個側(cè)壁的壓力時需要利用層液體對一個側(cè)壁產(chǎn)生的平均壓強來計算．