Question

18．曉明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組完成對(duì)我國(guó)1元硬幣（如圖所示）各參數(shù)的正確估測(cè)后，想知道它是由什么金屬制成的，從而需要測(cè)量出它的密度．
曉明同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是：用刻度尺測(cè)出一枚嶄新的1元硬幣的厚度；再用刻度尺測(cè)出它的半徑；從而算出硬幣的體積，然后將它放在天平上測(cè)出其質(zhì)量，最后由密度公式算出硬幣的密度．
請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：
（一）如果曉明測(cè)量出一枚硬幣的厚度為d、半徑為r、質(zhì)量為m，則曉明同學(xué)測(cè)得硬幣的密度ρ=$\frac{m}{π{r}^{2}d}$．
（二）但小組同學(xué)認(rèn)為曉明的方法有考慮不周之處，造成了誤差，必須采用另一種“截然不同的方法”才能避免這種誤差，使得測(cè)量結(jié)果誤差更小，更精確．
（1）你認(rèn)為曉明的方案，誤差產(chǎn)生的原因是什么？請(qǐng)你寫出其中的一條．
（2）若沒有刻度尺，物理老師提供了以下測(cè)量?jī)x器：50cm³、100cm³、250cm³量筒各一個(gè)（參數(shù)如表）；量程為5N，分度值為0.2N的彈簧測(cè)力計(jì)一個(gè)；最小砝碼為1g，標(biāo)尺的最小刻度為20mg的托盤天平一臺(tái)（含砝碼）

量筒序號(hào)	容量/mL	分度值/mL	外徑（直徑）/mm
1	50	1	25
2	100	1	32
3	250	5	41

請(qǐng)你從中選用一個(gè)測(cè)量?jī)x器，嶄新的1元硬幣一枚，自己可補(bǔ)充其他器材（非測(cè)量用），來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量這枚1元硬幣密度的最佳實(shí)驗(yàn)方案，使測(cè)量結(jié)果盡量精確，要求：
①寫出選用的所有器材；
②寫出主要實(shí)驗(yàn)步驟及所需測(cè)量的物理量；
③寫出硬幣密度的數(shù)學(xué)表達(dá)式（用已知量和測(cè)量量表示）

Answer 1

分析 （一）先由硬幣的厚度為d、半徑為r算出體積，又知質(zhì)量m，根據(jù)密度公式即可求出硬幣密度的表達(dá)式；
（二）（1）硬幣表面凸凹不平，上面可能沾有污垢，都會(huì)影響實(shí)驗(yàn)精度；
（2）①根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮蛯?shí)驗(yàn)方法分析，測(cè)量硬幣的密度，根據(jù)密度公式ρ=$\frac{m}{V}$，需要測(cè)量硬幣的質(zhì)量和體積，質(zhì)量可用天平測(cè)量，硬幣的體積用排水法，根據(jù)質(zhì)量和體積的估值要選擇使測(cè)量結(jié)果比較精確的器材．
②測(cè)量固體密度的基本方法，用天平測(cè)出固體的質(zhì)量m，根據(jù)排水法用量筒測(cè)出固體的體積V，用公式ρ=$\frac{m}{V}$計(jì)算出固體的密度．
③根據(jù)密度公式ρ=$\frac{m}{V}$，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的質(zhì)量，以及用排水法測(cè)量的硬幣的體積，就能求出硬幣的密度公式．

解答 解：
（一）一枚硬幣的厚度為d、半徑為r，則一枚硬幣的體積：V=Sd=πr²d，
已知硬幣的質(zhì)量為m，
根據(jù)密度公式ρ=$\frac{m}{V}$可得，硬幣的密度：ρ=$\frac{m}{π{r}^{2}d}$；
（二）（1）硬幣表面凸凹不平，測(cè)量出其厚度，計(jì)算出來(lái)的硬幣的體積不準(zhǔn)確；硬幣上可能沾有污垢導(dǎo)致測(cè)量的質(zhì)量和體積不準(zhǔn)確，都會(huì)影響到實(shí)驗(yàn)的精度（或用刻度尺測(cè)硬幣的半徑時(shí)誤差較大）；
（2）①根據(jù)題意，測(cè)量固體密度的實(shí)驗(yàn)，需要測(cè)量質(zhì)量和體積的工具；由于硬幣的質(zhì)量不足10g，用量程為5N，最小刻度值為0.2N的彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量，測(cè)量的誤差太大，只能用標(biāo)尺的最小刻度為20mg的托盤天平，1枚嶄新的1元硬幣，硬幣的體積用排水法求得，實(shí)驗(yàn)中還需要放取硬幣用的細(xì)線，小燒杯和水．
②實(shí)驗(yàn)步驟及所測(cè)得物理量有：
Ⅰ用調(diào)好的天平測(cè)量出1枚嶄新硬幣的質(zhì)量m₁；
Ⅱ在小燒杯裝入適量水，用調(diào)好的天平測(cè)量出燒杯和水的質(zhì)量m₂；
Ⅲ再用細(xì)線系住硬幣，手提細(xì)線將硬幣緩慢浸入燒杯的水中直至完全浸沒，并不接觸燒杯壁和底，在天平的右盤增加砝碼或只移動(dòng)游碼使天平平衡，稱出其質(zhì)量為m₃．
③根據(jù)實(shí)驗(yàn)步驟、所測(cè)物理量可知，硬幣排開水的質(zhì)量為：
m_排水=m₃-m₂，
硬幣完全浸沒在水中，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$可得硬幣的體積：
V=V_排水=$\frac{{m}_{3}-{m}_{2}}{{ρ}_{水}}$，
則硬幣密度的數(shù)學(xué)表達(dá)式：
ρ=$\frac{{m}_{1}}{\frac{{m}_{3}-{m}_{2}}{{ρ}_{水}}}$=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{3}-{m}_{2}}$•ρ_水．
故答案為：（一）$\frac{m}{π{r}^{2}d}$；
（二）（1）硬幣表面凸凹不平，測(cè)量出其厚度，計(jì)算出來(lái)的硬幣的體積不準(zhǔn)確（合理即可）；
（2）①選用的所有器材有：1枚嶄新的1元硬幣、小燒杯、天平和砝碼、細(xì)線、水；
②主要實(shí)驗(yàn)步驟及所需測(cè)量的物理量：
Ⅰ用調(diào)好的天平測(cè)量出1枚嶄新硬幣的質(zhì)量m₁；
Ⅱ在小燒杯裝入適量水，用調(diào)好的天平測(cè)量出燒杯和水的質(zhì)量m₂；
Ⅲ再用細(xì)線系住硬幣，手提細(xì)線將硬幣緩慢浸入燒杯的水中直至完全浸沒，并不接觸燒杯壁和底，在天平的右盤增加砝碼或只移動(dòng)游碼使天平平衡，稱出其質(zhì)量為m₃．
③硬幣密度的表達(dá)式為ρ=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{3}-{m}_{2}}$•ρ_水．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)題，因?yàn)楸绢}的實(shí)驗(yàn)方法比較多，開放性強(qiáng)，所以本題能很好的開發(fā)學(xué)生的思維，是一道路好題，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)人才學(xué)生的誤差分析能力也很有幫助．