Question

4．如圖甲所示裝置，杠桿和繩子的重力及滑輪與軸的摩擦均忽略不計(jì)，杠桿始終保持水平平衡．滑輪組的上端用彈簧測(cè)力計(jì)和天花板相連，滑輪組的下端，懸掛一圓柱形的物體，此物體浸在圓柱形容器內(nèi)的水中．已知杠桿O點(diǎn)兩側(cè)的長(zhǎng)度關(guān)系為AO=2OB，容器底面積為200cm²，圓柱形物體的底面積為100cm²、高為12cm，重力為24N．已知彈簧所受拉力T與拉伸形變量△x的關(guān)系如圖乙所示，動(dòng)滑輪D重為15N，滑輪C質(zhì)量未知，取g=10N/kg．該物體的上表面恰好與水面相平，此時(shí)杠桿B端繩上的拉力為F₁；當(dāng)打開(kāi)圓柱形容器下方的閥門K，將水向外釋放至某時(shí)刻，將閥門K關(guān)閉，此時(shí)杠桿B端繩上的拉力F₂，若使F₁：F₂=3：4，需放出多少千克的水？

Answer 1

分析 計(jì)算放出水的質(zhì)量，根據(jù)m=ρV可知關(guān)鍵是求出水面下降后放出的水的體積，所以需要根據(jù)物體G下降的高度和物體G露出水面的體積判斷；
（1）由于水面下降后測(cè)力計(jì)拉力的示數(shù)發(fā)生變化，所以應(yīng)根據(jù)滑輪D的受力情況和杠桿AB的平衡求出向外釋放水的前后兩個(gè)狀態(tài)下的測(cè)力計(jì)拉力，根據(jù)拉力的變化由圖象即可得出物體G下降的高度；
（2）根據(jù)滑輪D的受力變化和物體G的受力情況得出物體G的浮力變化，根據(jù)阿基米德原理即可得出物體G露出水面的體積．據(jù)此即可解答．

解答 解：（1）圓柱形物體G的體積V=100cm²×12cm=1200cm³m=1.2×10^-3m³，
該物體的上表面恰好與水面相平，物體G受到的浮力F_浮=ρ_水gV=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.2×10^-3m³=12N；
物體G受力情況如圖1：

由于受力平衡，則T_D=G-F_浮=24N-12N=12N；
滑輪D受力情況如圖2：

由于滑輪D受力平衡，則3F_A=G_D+T_D，
所以F_A=$\frac{1}{3}$（G_D+T_D）=$\frac{1}{3}$（15N+12N）=9N；
由于杠桿AB處于平衡狀態(tài)，根據(jù)杠桿平衡條件可得：
F_A×OA=F₁×OB，
則F₁=$\frac{OA}{OB}$×F_A=$\frac{2OB}{OB}$×9N=18N；
已知：F₁：F₂=3：4，則F₂=$\frac{4}{3}$F₁=$\frac{4}{3}$×18N=24N；
（2）當(dāng)水向外釋放至某時(shí)刻閥門K關(guān)閉時(shí)，由于杠桿AB處于平衡狀態(tài)，根據(jù)杠桿平衡條件可得：
F_A′×OA=F₂×OB，
則F_A′=$\frac{OB}{OA}$×F₂=$\frac{OB}{2OB}$×24N=12N；
向外釋放水的前后兩個(gè)狀態(tài)下滑輪C受力情況如圖3：

根據(jù)物體受力平衡可知：
T=G_C+2F_A，T′=G_C+2F_A′，
所以，測(cè)力計(jì)的示數(shù)變化為：△T=T′-T=（G_C+2F_A′）-（G_C+2F_A）=2F_A′-2F_A=2×12N-2×9N=6N；
由圖象可知測(cè)力計(jì)的彈簧長(zhǎng)度的變化△x=3cm，即物體G會(huì)下降△h=△x=3cm；
此時(shí)滑輪D受力情況如圖4：

由于滑輪D受力平衡，則3F_A′=G_D+T_D′，
所以T_D′=3F_A′-G_D=3×12N-15N=21N；
由于物體G受力情況如圖5：

由于受力平衡，則T_D′+F_浮′=G，
則對(duì)于物體G所受浮力的變化為：
△F_浮=F_浮-F_浮′=（G-T_D′）-（G-T_D′）=T_D′-T_D=21N-12N=9N；
由F_浮=ρ_水gV_排可得露出水面的體積為：
V_露=$\frac{△{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{9N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=9×10^-3m³=900cm³；
所以，物體G會(huì)下降3cm和露出900cm³的體積時(shí)，需要放出水的體積為：
V_水=S_容△h+V_露=200cm²×3cm+900cm³=1500cm³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得放出水的質(zhì)量m=ρ_水V_水=1.0g/cm³×1500cm³=1500g=1.5kg．
答：需放出1.5kg的水．

點(diǎn)評(píng) 本題考查浮力、密度、體積等的計(jì)算，關(guān)鍵是公式及其變形的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是對(duì)物體進(jìn)行受力分析，本題難度很大，解題時(shí)一定要認(rèn)真仔細(xì)．