Question

如圖，輕質杠桿兩端懸掛同種材料制成的大小不同的金屬球時，杠桿平衡．把它們同時浸沒在水中，杠桿仍然平衡，則下列說法可能正確的是（　�。�

• A、兩球都是實心的
• B、大球實心，小球空心
• C、大球空心，小球實心
• D、兩球都空心，且空心部分體積相同

Answer 1

分析：判斷兩球是空心還是實心，其實就是判斷兩球的密度關系．那么要判斷兩球密度關系，我們需要根據(jù)題中條件，利用杠桿平衡條件和阿基米德原理列出兩個等量關系式，然后再結合密度計算公式、重力計算公式進行推導．

解答：解：設大球的力臂為L_大，小球的力臂為L_小，大球的密度為ρ_大，小球的密度為ρ_小．
則兩球在放入水中之前，根據(jù)杠桿的平衡條件可知：
G_大L_大=G_小L_小，
所以ρ_大gV_大L_大=ρ_小gV_小L_小，
則

ρ大gV大

ρ小gV小

=

L小

L大

；
當兩球都浸沒在水中時，根據(jù)杠桿的平衡條件可知：
（G_大-F_浮大）L_大=（G_小-F_浮小）L_小，
由阿基米德原理原理可得：
（ρ_大gV_大-ρ_水gV_大）L_大=（ρ_小gV_小-ρ_水gV_小）L_小，
則

ρ大gV大-ρ水gV大

ρ小gV小-ρ水gV小

=

L小

L大

；
綜合前面兩式得出：

(ρ大-ρ水)gV大

(ρ小-ρ水)gV小

=

ρ大gV大

ρ小gV小

由此可得：

ρ大-ρ水

ρ小-ρ水

=

ρ大

ρ小

，
所以（ρ_大-ρ_水）ρ_小=（ρ_小-ρ_水）ρ_大，
則ρ_大ρ_小-ρ_水ρ_小=ρ_小ρ_大-ρ_水ρ_大，那么ρ_水ρ_小=ρ_水ρ_大，所以ρ_小=ρ_大
A、當兩球都是實心時，兩球的密度才是相等的．
B、若大球實心，小球空心，則ρ_大＞ρ_小．
C、若大球空心，小球實心，則ρ_大＜ρ_小．
D、若兩球實心，則ρ_大=ρ_小，即

m大

v大

=

m小

v小

．現(xiàn)在兩球都是空心，且空心部分體積相同，則兩球減小的質量都相同，設減小的質量都是m₀，而體積還是和原來相同，所以現(xiàn)在兩個球的密度分別是ρ_大′=

m大-m0

v大

=

m大

v大

-

m0

v大

，ρ_小′=

m小-m0

v小

=

m小

v小

-

m0

v小

，由于

m大

v大

=

m小

v小

，所以

m大

v大

-

m0

v大

＞

m小

v小

-

m0

v小

，即ρ_大′＞ρ_小′．
故選 A．

點評：本題考查了杠桿的平衡原理以及浮力和密度知識的綜合，難度比較大．解題中，要將兩個球的重力、浮力通過公式展開，得出密度、g、體積和力臂的乘積，這樣通過等式的建立，相等的量就可以消除，只剩下密度一個物理量．這類題要注意會運用公式進行物理量之間的推導和轉化．