Question

圖甲是某科研小組設計從井底打撈物體A的裝置示意圖．圖中虛線框里是滑輪組（未畫出），滑輪組繩子的自由端H由電動機拉動．該裝置由懸掛機構和提升裝置兩部分組成．懸掛機構由支架AD和杠桿CB構成，CO：OB=4：1．配重E通過繩子豎直拉著杠桿B端，其質量m_E=200kg．安裝在杠桿C端的提升裝置由支架、定滑輪K、動滑輪M及電動機Q構成．其中支架和電動機Q的質量m_Q=6.2kg，定滑輪K和動滑輪M的質量均為m_K．可利用遙控電動機拉動繩子，通過滑輪組提升物體．物體A完全在水中勻速上升的過程中，電動機Q的功率P₁為60W，繩子自由端H的拉力F₁為20N，物體A上升速度大小為v₁，地面對配重E的支持力為N₁，滑輪組的機械效率為η₁；物體A全部露出水面勻速豎直上升的過程中，電動機Q的功率為P₂，繩子自由端H的拉力為F₂，物體A上升速度大小為v₂，地面對配重E的支持力為N₂，滑輪組的機械效率η₂為95%；滑輪組提升物體A的過程中，杠桿CB在水平位置保持平衡．物體A上升的速度在水中以及完全出水后隨時間的變化如圖乙所示．已知N₁=6N₂．細繩和杠桿的質量、滑輪與軸的摩擦、水對物體A的阻力均忽略不計，g取10N/kg．

求：
（1）動滑輪M的質量m_K；
（2）物體A全部露出水面勻速上升時電動機的功率P₂；
（3）物體A的密度ρ．

Answer 1

解：
出水前：物體A和動滑輪M；定滑輪K及與電動機Q；杠桿BC；配重E受力分析如圖1、2、3、4．
出水后：物體A和動滑輪M；定滑輪K及與電動機Q；杠桿BC；配重E受力分析如圖5、6、7、8．
（1）由物體A完全在水中勻速上升時，繩子H端的拉力為F₁，H端上升速度如圖乙所示．
P₁=F₁×nv₁=20N×n×1m/s=60W，
解得：n=3，
在水中時，F_C1′=F_C1，F_B1′=F_B1，F_C1×CO=F_B1×OB
F_C1′=3F₁+G_Q+G_K
F_B1=F_C1=4F_C1=4（3F₁+G_Q+G_K）
N₁=G_E-F_B1=G_E-4（3F₁+G_Q+G_K）=m_Eg-4×（3×20N+m_Qg+G_K）=200kg×10N/kg-4×（3×20N+6.2kg×10N/kg+G_K）=1512N-4G_K----------①
出水后，η₂===95%，
解得：G_A=19G_K，
3F₂=G_A+G_K=20G_K，
N₂=G_E-F_B2=G_E-4（3F₂+G_Q+G_K）=G_E-4（G_Q+21G_K）=m_Eg-4×（m_Qg+21G_K）=200kg×10N/kg-4×（6.2kg×10N/kg+21G_K）=1752N-84G_K----------②
由題知，==
解得：G_K=18N，
∵G=mg，
∴m_K=1.8kg；
（2）∵3F₂=20G_K=20×18N，
∴F₂=120N，
P₂=F₂×nv₂=120N×3×0.6m/s=216W，
（3）G_A=19G_K=19×18N=342N，
m_A===34.2kg，
F_浮=3F₂-3F₁=3（120N-20N）=300N，
∵F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水V_Ag，
即：300N=1×10³kg/m³×V_A×10N/kg，
解得：V_A=0.03m³，
ρ_A===1.14×10³kg/m³．
答：（1）動滑輪M的質量為1.8kg；
（2）物體A全部露出水面勻速上升時電動機的功率為216W；
（3）物體A的密度為1.14×10³kg/m³．
分析：出水前、出水后分別對物體A和動滑輪M；定滑輪K及與電動機Q；杠桿BC；配重E受力分析，
（1）由物體A完全在水中勻速上升時，繩子H端的拉力為F₁，H端上升速度由圖乙查得，根據P=F×nv=60W求n的大��；
在水中時，F_C1′=F_C1，F_B1′=F_B1，F_C1×CO=F_B1×OB，可得N₁=G_E-F_B1=G_E-4（3F₁+G_Q+G_K）①
出水后，η₂===95%，求得G_A=19G_K，3F₂=G_A+G_K=20G_K，進而得出N₂=G_E-F_B2=G_E-4（3F₂+G_Q+G_K）②
而=，可得G_K大小，再利用重力公式求m_K；
（2）上面求出3F₂=20G_K，可得F₂，則P₂=F₂×nv₂，
（3）上面求出G_A，利用重力公式求m_A，而F_浮=3F₂-3F₁，再利用阿基米德原理排排開水的體積，即A的體積，再利用密度公式求A的密度．
點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、功率公式、效率公式、杠桿平衡條件的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識，畫出受力示意圖幫助解題是本題的關鍵．